如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，-优题课

为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格：

编号	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧	⑨	⑩	⑪	⑫	⑬	⑭	⑮
尺寸 $(cm)$	8.72	8.88	8.92	8.93	8.94	8.96	8.97	8.98	$a$	9.03	9.04	9.06	9.07	9.08	$b$

按照生产标准，产品等次规定如下：

尺寸（单位： $cm)$	产品等次
$8.97 ⩽ x ⩽ 9.03$	特等品
$8.95 ⩽ x ⩽ 9.05$	优等品
$8.90 ⩽ x ⩽ 9.10$	合格品
$x < 8.90$ 或 $x > 9.10$	非合格品

注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内．

（1）已知此次抽检的合格率为 $80 %$ ，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．

（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为 $9 cm$ ．

$(i)$ 求 $a$ 的值；

$(ii)$ 将这些优等品分成两组，一组尺寸大于 $9 cm$ ，另一组尺寸不大于 $9 cm$ ，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．

如图，点 $E$ 在 $▱ ABCD$ 内部， $AF / / BE$ ， $DF / / CE$ ．

（1）求证： $ΔBCE ≅ ΔADF$ ；

（2）设 $▱ ABCD$ 的面积为 $S$ ，四边形 $AEDF$ 的面积为 $T$ ，求 $\frac{S}{T}$ 的值．

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 $O$ 为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 $AB$ 长为6米， $∠ OAB = 41.3 °$ ，若点 $C$ 为运行轨道的最高点 $(C$ ， $O$ 的连线垂直于 $AB)$ ，求点 $C$ 到弦 $AB$ 所在直线的距离．

（参考数据： $\sin 41.3 ° \approx 0.66$ ， $\cos 41.3 ° \approx 0.75$ ， $\tan 41.3 ° \approx 0.88)$

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{2}{1} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1}$ ，

第2个等式： $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ ，

第3个等式： $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ ，

第4个等式： $\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}$ ，

第5个等式： $\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}$ ，

$\dots \dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　　；

（2）写出你猜想的第 $n$ 个等式：　　（用含 $n$ 的等式表示），并证明．

为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？