如图，直线y＝kx(k＞0)与双曲线交于A（x1，y1），B-优题课

有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 $y = \frac{1}{k} x$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象性质．

小明根据学习函数的经验，对函数 $y = \frac{1}{k} x$ 与 $y = \frac{k}{x}$ ，当 $k > 0$ 时的图象性质进行了探究．

下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数 $y = \frac{1}{k} x$ 与 $y = \frac{k}{x}$ 图象的交点为 $A$ ， $B$ ，已知 $A$ 点的坐标为 $(- k, - 1)$ ，则 $B$ 点的坐标为　　；

（2）若点 $P$ 为第一象限内双曲线上不同于点 $B$ 的任意一点．

①设直线 $PA$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，直线 $PB$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ．求证： $PM = PN$ ．

证明过程如下：设 $P (m, \frac{k}{m})$ ，直线 $PA$ 的解析式为 $y = ax + b (a \neq 0)$ ．

则 $\{\begin{matrix} - ka + b = - 1 \\ ma + b = \frac{k}{m} \end{matrix}$ ，

解得 $\{\begin{matrix} a = \\ b = \end{matrix}$ 　　

$∴$ 直线 $PA$ 的解析式为　　

请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．

②当 $P$ 点坐标为 $(1$ ， $k) (k \neq 1)$ 时，判断 $ΔPAB$ 的形状，并用 $k$ 表示出 $ΔPAB$ 的面积．

如图1，在矩形纸片 $ABCD$ 中， $AB = 3 cm$ ， $AD = 5 cm$ ，折叠纸片使 $B$ 点落在边 $AD$ 上的 $E$ 处，折痕为 $PQ$ ，过点 $E$ 作 $EF / / AB$ 交 $PQ$ 于 $F$ ，连接 $BF$ ．

（1）求证：四边形 $BFEP$ 为菱形；

（2）当点 $E$ 在 $AD$ 边上移动时，折痕的端点 $P$ 、 $Q$ 也随之移动；

①当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时（如图 $2)$ ，求菱形 $BFEP$ 的边长；

②若限定 $P$ 、 $Q$ 分别在边 $BA$ 、 $BC$ 上移动，求出点 $E$ 在边 $AD$ 上移动的最大距离．

随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．

（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；

（2）求出水柱的最大高度是多少？

如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路 $10 m$ 的 $A$ 处，测得一辆汽车从 $B$ 处行驶到 $C$ 处所用时间为0.9秒，已知 $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 45 °$ ．

（1）求 $B$ ， $C$ 之间的距离；（保留根号）

（2）如果此地限速为 $80 km / h$ ，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4)$

如图，已知 $Rt Δ ABC$ ， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 为 $BC$ 的中点，以 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AE : EB = 1 : 2$ ， $BC = 6$ ，求 $AE$ 的长．