请先将下式化简，再选择一个适当的数代入求值．-优题课

以下是圆圆解方程 $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 3}{3} = 1$ 的答案过程．

解：去分母，得 $3 (x + 1) - 2 (x - 3) = 1$ ．

去括号，得 $3 x + 1 - 2 x + 3 = 1$ ．

移项，合并同类项，得 $x = - 3$ ．

圆圆的答案过程是否有错误？如果有错误，写出正确的答案过程．

如图1，已知四边形 $ABCD$ 是矩形，点 $E$ 在 $BA$ 的延长线上， $AE = AD$ ． $EC$ 与 $BD$ 相交于点 $G$ ，与 $AD$ 相交于点 $F$ ， $AF = AB$ ．

（1）求证： $BD ⊥ EC$ ；

（2）若 $AB = 1$ ，求 $AE$ 的长；

（3）如图2，连接 $AG$ ，求证： $EG - DG = \sqrt{2} AG$ ．

在平面直角坐标系中，已知点 $A (1, 2)$ ， $B (2, 3)$ ， $C (2, 1)$ ，直线 $y = x + m$ 经过点 $A$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ 恰好经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点中的两点．

（1）判断点 $B$ 是否在直线 $y = x + m$ 上，并说明理由；

（2）求 $a$ ， $b$ 的值；

（3）平移抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ ，使其顶点仍在直线 $y = x + m$ 上，求平移后所得抛物线与 $y$ 轴交点纵坐标的最大值．

某单位食堂为全体960名职工提供了 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中最喜欢 $A$ 套餐的人数为　　，扇形统计图中“ $C$ ”对应扇形的圆心角的大小为　　 $°$ ；

（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢 $B$ 套餐的人数；

（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．

如图， $AB$ 是半圆 $O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是半圆 $O$ 上不同于 $A$ ， $B$ 的两点， $AD = BC$ ， $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $F$ ． $BE$ 是半圆 $O$ 所在圆的切线，与 $AC$ 的延长线相交于点 $E$ ．

（1）求证： $ΔCBA ≅ ΔDAB$ ；

（2）若 $BE = BF$ ，求证： $AC$ 平分 $∠ DAB$ ．