如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，-优题课

我们定义：如图1，在 $ΔABC$ 中，把 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到 $A B^{'}$ ，把 $AC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $β$ 得到 $A C^{'}$ ，连接 $B^{'} C^{'}$ ．当 $α + β = 180 °$ 时，我们称△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 是 $ΔABC$ 的“旋补三角形”，△ $A B^{'} C^{'}$ 边 $B^{'} C^{'}$ 上的中线 $AD$ 叫做 $ΔABC$ 的“旋补中线”，点 $A$ 叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△ $A B^{'} C^{'}$ 是 $ΔABC$ 的“旋补三角形”， $AD$ 是 $ΔABC$ 的“旋补中线”．

①如图2，当 $ΔABC$ 为等边三角形时， $AD$ 与 $BC$ 的数量关系为 $AD =$ 　　 $BC$ ；

②如图3，当 $∠ BAC = 90 °$ ， $BC = 8$ 时，则 $AD$ 长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当 $ΔABC$ 为任意三角形时，猜想 $AD$ 与 $BC$ 的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形 $ABCD$ ， $∠ C = 90 °$ ， $∠ D = 150 °$ ， $BC = 12$ ， $CD = 2 \sqrt{3}$ ， $DA = 6$ ．在四边形内部是否存在点 $P$ ，使 $ΔPDC$ 是 $ΔPAB$ 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 $ΔPAB$ 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

已知抛物线 $C_{1} : y = a x^{2} - 4 ax - 5 (a > 0)$ ．

（1）当 $a = 1$ 时，求抛物线与 $x$ 轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论 $a$ 为何值，抛物线 $C_{1}$ 一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线 $C_{1}$ 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 $C_{2}$ ，直接写出 $C_{2}$ 的表达式；

（3）若（2）中抛物线 $C_{2}$ 的顶点到 $x$ 轴的距离为2，求 $a$ 的值．

如图1， $⊙ O$ 的直径 $AB = 12$ ， $P$ 是弦 $BC$ 上一动点（与点 $B$ ， $C$ 不重合）， $∠ ABC = 30 °$ ，过点 $P$ 作 $PD ⊥ OP$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ．

（1）如图2，当 $PD / / AB$ 时，求 $PD$ 的长；

（2）如图3，当 $\hat{DC} = \hat{AC}$ 时，延长 $AB$ 至点 $E$ ，使 $BE = \frac{1}{2} AB$ ，连接 $DE$ ．

①求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

②求 $PC$ 的长．

如图，直线 $y = k_{1} x (x ⩾ 0)$ 与双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x} (x > 0)$ 相交于点 $P (2, 4)$ ．已知点 $A (4, 0)$ ， $B (0, 3)$ ，连接 $AB$ ，将 $Rt Δ AOB$ 沿 $OP$ 方向平移，使点 $O$ 移动到点 $P$ ，得到△ $A^{'} P B^{'}$ ．过点 $A^{'}$ 作 $A^{'} C / / y$ 轴交双曲线于点 $C$ ．

（1）求 $k_{1}$ 与 $k_{2}$ 的值；

（2）求直线 $PC$ 的表达式；

（3）直接写出线段 $AB$ 扫过的面积．

如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为 $xcm$ ，双层部分的长度为 $ycm$ ，经测量，得到如下数据：

单层部分的长度 $x (cm)$	$\dots$	4	6	8	10	$\dots$	150
双层部分的长度 $y (cm)$	$\dots$	73	72	71		$\dots$

（1）根据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为 $120 cm$ 时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；

（3）设挎带的长度为 $lcm$ ，求 $l$ 的取值范围．