在数轴上有四个点A、B、C、D，如图，请回答（1）A、C两点-优题课

在 $ΔABC$ 中， $BC = a$ ， $AC = b$ ， $AB = c$ ，若 $∠ C = 90 °$ ，如图1，则有 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ；若 $ΔABC$ 为锐角三角形时，小明猜想： $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，理由如下：如图2，过点 $A$ 作 $AD ⊥ CB$ 于点 $D$ ，设 $CD = x$ ．在 $Rt Δ ADC$ 中， $A D^{2} = b^{2} - x^{2}$ ，在 $Rt Δ ADB$ 中， $A D^{2} = c^{2} - {(a - x)}^{2}$

$∴ a^{2} + b^{2} = c^{2} + 2 ax$

$∵ a > 0$ ， $x > 0$

$∴ 2 ax > 0$

$∴ a^{2} + b^{2} > c^{2}$

$∴$ 当 $ΔABC$ 为锐角三角形时， $a^{2} + b^{2} > c^{2}$

所以小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当 $ΔABC$ 为钝角三角形时， $a^{2} + b^{2}$ 与 $c^{2}$ 的大小关系．

（2）温馨提示：在图3中，作 $BC$ 边上的高．

（3）证明你猜想的结论是否正确．

甲队修路500米与乙队修路800米所用天数相同，乙队比甲队每天多修30米，问甲队每天修路多少米？

解：设甲队每天修路 $x$ 米，用含 $x$ 的代数式完成表格：

甲队每天修路长度（单位：米）	乙队每天修路长度（单位：米）	甲队修500米所用天数（单位：天）	乙队修800米所用天数（单位：天）
$x$		$\frac{500}{x}$

关系式：甲队修500米所用天数 $=$ 乙队修800米所用天数

根据关系式列方程为：　　

解得：　　

检验：　　

答：　　．

为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码 $a$ ， $b$ ， $c$ 时，则接收方对应收到的密码为 $A$ ， $B$ ， $C$ ．双方约定： $A = 2 a - b$ ， $B = 2 b$ ， $C = b + c$ ，例如发出1，2，3，则收到0，4，5

（1）当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？

（2）当接收方收到一组密码2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？

如图，直线 $y = 5 x + 5$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，过 $A$ ， $C$ 两点的二次函数 $y = a x^{2} + 4 x + c$ 的图象交 $x$ 轴于另一点 $B$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $BC$ ，点 $N$ 是线段 $BC$ 上的动点，作 $ND ⊥ x$ 轴交二次函数的图象于点 $D$ ，求线段 $ND$ 长度的最大值；

（3）若点 $H$ 为二次函数 $y = a x^{2} + 4 x + c$ 图象的顶点，点 $M (4, m)$ 是该二次函数图象上一点，在 $x$ 轴、 $y$ 轴上分别找点 $F$ ， $E$ ，使四边形 $HEFM$ 的周长最小，求出点 $F$ ， $E$ 的坐标．

温馨提示：在直角坐标系中，若点 $P$ ， $Q$ 的坐标分别为 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $Q (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，

当 $PQ$ 平行 $x$ 轴时，线段 $PQ$ 的长度可由公式 $PQ = | x_{1} - x_{2} |$ 求出；

当 $PQ$ 平行 $y$ 轴时，线段 $PQ$ 的长度可由公式 $PQ = | y_{1} - y_{2} |$ 求出．

（1）阅读理解：

如图①，在 $ΔABC$ 中，若 $AB = 10$ ， $AC = 6$ ，求 $BC$ 边上的中线 $AD$ 的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长 $AD$ 到点 $E$ 使 $DE = AD$ ，再连接 $BE$ （或将 $ΔACD$ 绕着点 $D$ 逆时针旋转 $180 °$ 得到 $ΔEBD)$ ，把 $AB$ 、 $AC$ ， $2 AD$ 集中在 $ΔABE$ 中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线 $AD$ 的取值范围是　　；

（2）问题解决：

如图②，在 $ΔABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 边上的中点， $DE ⊥ DF$ 于点 $D$ ， $DE$ 交 $AB$ 于点 $E$ ， $DF$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ，求证： $BE + CF > EF$ ；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $CB = CD$ ， $∠ BCD = 140 °$ ，以 $C$ 为顶点作一个 $70 °$ 角，角的两边分别交 $AB$ ， $AD$ 于 $E$ 、 $F$ 两点，连接 $EF$ ，探索线段 $BE$ ， $DF$ ， $EF$ 之间的数量关系，并加以证明．