在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投
次，每次投篮的结果相互独立.在
处每投进一球得分，在
处每投进一球得
分，否则得
分. 将学生得分逐次累加并用
表示，如果的值不低于分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种：方案1：先在处投一球，以后都在处投；方案2：都在处投篮.甲同学在处投篮的命中率为
，在处投篮的命中率为
.
（Ⅰ）甲同学选择方案1.
求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率；
求甲同学测试结束后所得总分的分布列和数学期望
；
（Ⅱ）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
（本小题满分10分）
已知函数
，
．
（1）若关于
的方程
只有一个实数解，求实数
的取值范围；
（2）若当
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围．
（本小题满分10分）
如图，已知圆
是
的外接圆，
，
是
边上的高，
是圆的直径．过点
作圆的切线交
的延长线于点
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求的长．
（本小题满分12分）
已知函数
，
．
（1）若
在
上的最大值为
，求实数
的值；
（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设
，对任意给定的正实数，曲线
上是否存在两点
、
，使得
是以
（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？请说明理由．
（本题小满分12分）
如图，在直角梯形
中，
，
，
平面，
，
．
（1）求证：
平面
；
（2）在直线
上是否存在点
，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由．
（本小题满分12分）
已知等差数列
的公差为
，前
项和为
，且
．
（1）求数列的通项公式
与前项和；
（2）将数列的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列
的前三项，记数列
的前项和为
，若存在
，使得对任意
，总有
成立，求实数
的取值范围．