在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD的平分线交直-优题课

如图，在梯形 $ABCD$ 中， $AD / / BC, E$ 是 $BC$ 的中点， $AD = 5, BC = 12, CD = 4 \sqrt{2}, ∠ C = 45 °$ ，点 $P$ 是 $BC$ 边上一动点，设 $PB$ 的长为 $x$ .

（1）当 $x$ 的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P, A, D, E$ 为顶点的四边形为直角梯形?

（2）当 $x$ 的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P, A, D, E$ 为顶点的四边形为平行四边形?

（3）点 $P$ 在 $BC$ 边上运动的过程中，以 $P, A, D, E$ 为顶点的四边形能否构成菱形?试说明理由.

有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.（在图中给出的图形上分别作图示意）

如图所示，在菱形 $ABCD$ 中， $AB = 4, ∠ BAD = 120 °, △ AEF$ 为正三角形，点 $E, F$ 分别在菱形的边 $BC, CD$ 上滑动，且 $E, F$ 不与 $B, C, D$ 重合.

（1）证明不论 $E, F$ 在 $BC, CD$ 上如何滑动，总有 $BE = CF$ ；

（2）当点 $E, F$ 在 $BC, CD$ 上滑动时，分别探讨四边形 $AECF$ 和 $△ CEF$ 的面积是否发生变化?如果不变化，求出这个定值；如果变化，求最大（或最小）值.

问题背景

在 $△ ABC$ 中， $AB, BC, AC$ 三边的长分别为 $\sqrt{5}, \sqrt{10}, \sqrt{13}$ ，求这个三角形的面积。小辉在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 $1$ ），再在网格中画出格点 $△ ABC$ （即 $△ ABC$ 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需要求出 $△ ABC$ 的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将 $△ ABC$ 的面积直接填写在横线上，＿＿＿＿＿.

思维拓展

（2）我们把上述求 $△ ABC$ 面积的方法叫做构图法，若 $△ ABC$ 三边的长分别为 $\sqrt{5} a, 2 \sqrt{2} a, \sqrt{17} a (a > 0)$ ，请利用②的正方形网格（每个小正方形的边长为 $a$ ）画出相应的 $△ ABC$ ，并求出它的面积.

探索创新

（3）若 $△ ABC$ 三边的长分别为 $\sqrt{m^{2} + 16 n^{2}}, \sqrt{9 m^{2} + 4 n^{2}}, 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} (m > 0, n > 0$ ，且 $m \neq n)$ ，试运用构图法求出这个三角形的面积.

（1）证明： $\sqrt{a^{2} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{a^{2}}{{(ab + 1)}^{2}}} = |a + \frac{1}{b} - \frac{a}{ab + 1}|$ ；

（2）利用（1）式计算： $\sqrt{1 + 1990^{2} + \frac{1990^{2}}{1991^{2}}} - \frac{1}{1991}$ .