如图，在四边形ABCD中，∠DAB60º，AC平分∠DAB，-优题课

探究活动一：

如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线 $AB$ 上的三点 $A (1, 3)$ 、 $B (2, 5)$ 、 $C (4, 9)$ ，有 $k_{AB} = \frac{5 - 3}{2 - 1} = 2$ ， $k_{AC} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$ ，发现 $k_{AB} = k_{AC}$ ，兴趣小组提出猜想：若直线 $y = kx + b (k \neq 0)$ 上任意两点坐

标 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $Q (x_{2}$ ， $y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $k_{PQ} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立， $k_{PQ}$ 是定值，并且是直线 $y = kx + b (k \neq 0)$ 中的 $k$ ，叫做这条直线的斜率．

请你应用以上规律直接写出过 $S (- 2, - 2)$ 、 $T (4, 2)$ 两点的直线 $ST$ 的斜率 $k_{ST} =$ 　　．

探究活动二

数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．

如图2，直线 $DE$ 与直线 $DF$ 垂直于点 $D$ ， $D (2, 2)$ ， $E (1, 4)$ ， $F (4, 3)$ ．请求出直线 $DE$ 与直线 $DF$ 的斜率之积．

综合应用

如图3， $⊙ M$ 为以点 $M$ 为圆心， $MN$ 的长为半径的圆， $M (1, 2)$ ， $N (4, 5)$ ，请结合探究活动二的结论，求出过点 $N$ 的 $⊙ M$ 的切线的解析式．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 的中点为 $O$ ，点 $G$ ， $H$ 在对角线 $AC$ 上， $AG = CH$ ，直线 $GH$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $α$ 角，与边 $AB$ 、 $CD$ 分别相交于点 $E$ 、 $F$ （点 $E$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合）．

（1）求证：四边形 $EHFG$ 是平行四边形；

（2）若 $∠ α = 90 °$ ， $AB = 9$ ， $AD = 3$ ，求 $AE$ 的长．

“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？

2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：

（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；

（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．

1）计算： $| \sqrt{3} - 2 | + π^{0} + {(- 1)}^{2019} - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

（2）先化简，再求值： $1 - \frac{a + 3}{a^{2} - 1} \div \frac{a + 3}{a - 1}$ ，其中 $a = 2$ ；

（3）解方程组： $\{\begin{matrix} 2 x - y = 5, \\ 3 x + 4 y = 2 \cdot \end{matrix}$