在O点固定一个长度为L的轻质不可伸长的细绳，绳子的另一端连接-优题课

拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为 $m$ ，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数 $μ$ ，重力加速度为 $g$ ，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为 $θ$ 。

（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。
（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为 $γ$ 。已知存在一临界角 $θ_{0}$ ，若 $θ ⩽ θ_{0}$ ，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切 $\tan θ_{0}$ 。

某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为 $S$ 。比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为 $a$ 的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到 $v_{0}$ 时，再以 $v_{0}$ 做匀速直线运动跑至终点。整个过程中球一直保持在球拍中心不动。比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为 $θ_{0}$ ，如题25图所示。设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为 $m$ ，重力加速度为 $g$ 。

（1）求空气阻力大小与球速大小的比例系数 $k$ ；
（2）求在加速跑阶段球拍倾角 $θ$ 随速度 $v$ 变化的关系式；
（3）整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为 $v_{0}$ ，而球拍的倾角比 $θ_{0}$ 大了 $β$ 并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求 $β$ 应满足的条件。

有人设计了一种带电颗粒的速率分选装置，其原理如题图所示，两带电金属板间有匀强电场，方向竖直向上，其中 $P Q N M$ 矩形区域内还有方向垂直纸面向外的匀强磁场。一束比荷（电荷量与质量之比）均为 $\frac{1}{k}$ 的带正电颗粒，以不同的速率沿着磁场区域的水平中心线 $O ` O$ 进入两金属板之间，其中速率为 $v_{0}$ 的颗粒刚好从 $Q$ 点处离开磁场，然后做匀速直线运动到达收集板。重力加速度为 $g$ ， $P Q$ =3 $d$ ， $N Q$ =2 $d$ ，收集板与 $N Q$ 的距离为 $l$ ，不计颗粒间相互作用。求

（1）电场强度 $E$ 的大小；
（2）磁感应强度 $B$ 的大小；
（3）速率为 $λ v_{0} (λ > 1)$ 的颗粒打在收集板上的位置到 $O$ 点的距离。

如图所示，二块水平放置、相距为 $d$ 的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为 $m$ 、水平速度均为 $v_{0}$ 、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至 $U$ ，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动，进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的 $M$ 点。

（1）判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；
（2）求磁感应强度 $B$ 的值；
（3）现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间位置。为了使墨滴仍能到达下板 $M$ 点应将磁感应强度调至 $B `$ ，则 $B `$ 的大小为多少？

为了研究鱼所受水的阻力与其形状的关系，小明同学用石蜡做成两条质量均为m、形状不同的" $A$ 鱼"和" $B$ 鱼"，如图所示。在高出水面 $H$ 处分别静止释放" $A$ 鱼"和" $B$ 鱼"， " $A$ 鱼"竖直下滑 $h_{A}$ 后速度减为零，" $B$ 鱼" 竖直下滑 $h_{B}$ 后速度减为零。"鱼"在水中运动时，除受重力外还受浮力和水的阻力，已知"鱼"在水中所受浮力是其重力的10/9倍，重力加速度为 $g$ ，"鱼"运动的位移远大于"鱼"的长度。假设"鱼"运动时所受水的阻力恒定，空气阻力不计。求：

（1）" $A$ 鱼"入水瞬间的速度 $V_{A 1}$ ；
（2）" $A$ 鱼"在水中运动时所受阻力 $f_{A}$ ；
（3）" $A$ 鱼"与" $B$ 鱼" 在水中运动时所受阻力之比 $f_{A}$ ： $f_{B}$