某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量
（单位：
）与它的"相近"作物株数
之间的关系如下表所示：
| 1 |
2 |
3 |
4 |
|
| 51 |
48 |
45 |
42 |
这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过1米.
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好"相近"的概率；
（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.
（本小题满分12分）
数列
中，
，前
项和
满足
。
（1）求数列数列的通项公式
，以及前项和；
（2）若
，
，
成等差数列，求实数
的值。
（本小题满分14分）已知函数
（
是自然对数的底数）
（1）求
的最小值；
（2）不等式
的解集为P,若
求实数
的取值范围；
（3）已知
，是否存在等差数列
和首项为
公比大于0的等比数列
，使数列
的前n项和等于
（本题14分）如图，椭圆长轴端点为
，
为椭圆中心，
为椭圆的右焦点,
且
，
．（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为
，直线
交椭圆于
两点，问：是否存在直线，使点恰为
的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
（本小题共13分） 如图，在三棱锥
中，
底面ABC
，点
、
分别在棱
上，且
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）当为
的中点时，求
与平面所成角的大小的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点，使得二面角
为直二面角？并说明理由.
A处一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile的海面C处有一走私船正以10 n mile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜.缉私艇的速度为14 n mile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值.