如图，旅客从某旅游区的景点 $A$处下山至 $C$处有两种路径.一种是从 $A$沿直线步行到 $C$，另一种从 $A$沿索道乘缆车到 $B$，然后从 $B$沿直线步行到 $C$.现有甲、乙两位游客从 $A$处下山，甲沿 $AC$匀速步行，速度为50 $m/min$，在甲出发2 $min$后，乙从 $A$乘缆车到 $B$，在 $B$处停留1 $min$后，再从 $B$匀速步行到 $C$. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 $m/min$，山路 $AC$长1260 $m$，经测量， $\cos A=\frac{12}{13},\cos C=\frac{3}{5}$.

（1）求索道 $AB$的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 $C$处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 解三角形