设椭圆x2a2y2b21a<b<0的左焦点为F,离心率为33-优题课

题文

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ , 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设 $A, B$ 分别为椭圆的左右顶点, 过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $C, D$ 两点. 若 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{D B} + \overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{C B} = 8$ , 求 $k$ 的值.

科目数学题型解答题难度中等

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（本小题满分14分）已知抛物线:与直线相切，且知点和直线，若动点在抛物线上（除原点外），点处的切线记为，过点且与直线垂直的直线记为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求证：直线、、相交于同一点．

（本小题满分15分）已知函数．
（Ⅰ）若时，函数有三个互不相同的零点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．

（本小题满分15分）如图，已知的直径，点为上异于，的一点，平面，且，点为线段的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
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（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和，并求使成立的正整数的最大值．

已知中， ,, 分别为角 ,,所对的边，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的面积为，，求、的长．

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