1）（2）-优题课

（材料阅读）

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的 $⊙ O ）$ ．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 $α$ 的大小是变化的．

（实际应用）

观测点 $A$ 在图1所示的 $⊙ O$ 上，现在利用这个工具尺在点 $A$ 处测得 $α$ 为 $31 °$ ，在点 $A$ 所在子午线往北的另一个观测点 $B$ ，用同样的工具尺测得 $α$ 为 $67 °$ ． $PQ$ 是 $⊙ O$ 的直径， $PQ ⊥ ON$ ．

（1）求 $∠ POB$ 的度数；

（2）已知 $OP = 6400 km$ ，求这两个观测点之间的距离即 $⊙ O$ 上 $\hat{AB}$ 的长． $(π$ 取 $3.1)$

陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．

各类别的得分表

得分	类别
0	$A$ ：没有作答
1	$B$ ：解答但没有正确
3	$C$ ：只得到一个正确答案
6	$D$ ：得到两个正确答案，解答完全正确

已知两个班一共有 $50 %$ 的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：

（1）九（2）班学生得分的中位数是　　；

（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于 $B$ 类和 $C$ 类的人数各是多少？

在三角形纸片 $ABC$ （如图1）中， $∠ BAC = 78 °$ ， $AC = 10$ ．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．

（1） $∠ ABC =$ 　　 $°$ ；

（2）求正五边形 $GHMNC$ 的边 $GC$ 的长．

参考值： $\sin 78 ° \approx 0.98$ ， $\cos 78 ° \approx 0.21$ ， $\tan 78 ° \approx 4.7$ ．

小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．

（1）解方程： $\frac{2 x}{x - 2} = \frac{3}{x - 2} + 1$ ；

（2）解不等式： $4 (x - 1) - \frac{1}{2} < x$