在△ABC中，ABAC，∠BAC（），将线段BC绕点B逆时针-优题课

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心对称式和轮换对称式

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $BD$ 为对角线， $AE ⊥ BD$ ， $CF ⊥ BD$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ，连接 $AF$ 、 $CE$ ．

求证： $AF = CE$ ．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $B$ 点坐标为 $(3, 0)$ ．与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴下方的抛物线上，过点 $P$ 的直线 $y = x + m$ 与直线 $BC$ 交于点 $E$ ，与 $y$ 轴交于点 $F$ ，求 $PE + EF$ 的最大值；

（3）点 $D$ 为抛物线对称轴上一点．

①当 $ΔBCD$ 是以 $BC$ 为直角边的直角三角形时，求点 $D$ 的坐标；

②若 $ΔBCD$ 是锐角三角形，求点 $D$ 的纵坐标的取值范围．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $MN$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $M (6, 0)$ ， $N (0$ ， $2 \sqrt{3})$ ，等边 $ΔABC$ 的顶点 $B$ 与原点 $O$ 重合， $BC$ 边落在 $x$ 轴正半轴上，点 $A$ 恰好落在线段 $MN$ 上，将等边 $ΔABC$ 从图1的位置沿 $x$ 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $AB$ ， $AC$ 分别与线段 $MN$ 交于点 $E$ ， $F$ （如图2所示），设 $ΔABC$ 平移的时间为 $t (s)$ ．

（1）等边 $ΔABC$ 的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t =$ 　　时， $MN$ 垂直平分 $AB$ ；

（3）若在 $ΔABC$ 开始平移的同时．点 $P$ 从 $ΔABC$ 的顶点 $B$ 出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $BA - AC$ 运动．当点 $P$ 运动到 $C$ 时即停止运动． $ΔABC$ 也随之停止平移．

①当点 $P$ 在线段 $BA$ 上运动时，若 $ΔPEF$ 与 $ΔMNO$ 相似．求 $t$ 的值；

②当点 $P$ 在线段 $AC$ 上运动时，设 $S_{ΔPEF} = S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，并求出 $S$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

如图， $ΔABC$ 中，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ， $AE$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ．且 $CE = CF$ ．

（1）求证：直线 $CA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BD = \frac{4}{3} DC$ ，求 $\frac{DF}{CF}$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点 $O$ 是菱形 $ABCD$ 的对称中心．边 $AB$ 与 $x$ 轴平行，点 $B (1, - 2)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过 $A$ ， $C$ 两点．

（1）求点 $C$ 的坐标及反比例函数的解析式．

（2）直线 $BC$ 与反比例函数图象的另一交点为 $E$ ，求以 $O$ ， $C$ ， $E$ 为顶点的三角形的面积．