在△ABC中，ABAC，∠BAC（），将线段BC绕点B逆时针-优题课

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心对称式和轮换对称式

已知 $ΔAOB$ 和 $ΔMON$ 都是等腰直角三角形 $(\frac{\sqrt{2}}{2} OA < OM < OA)$ ， $∠ AOB = ∠ MON = 90 °$ ．

（1）如图1，连接 $AM$ ， $BN$ ，求证： $AM = BN$ ；

（2）将 $ΔMON$ 绕点 $O$ 顺时针旋转．

①如图2，当点 $M$ 恰好在 $AB$ 边上时，求证： $A M^{2} + B M^{2} = 2 O M^{2}$ ；

②当点 $A$ ， $M$ ， $N$ 在同一条直线上时，若 $OA = 4$ ， $OM = 3$ ，请直接写出线段 $AM$ 的长．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线 $AC$ ，点 $P$ 是射线 $AC$ 上的动点，连接 $OP$ ，过点 $B$ 作 $BD / / OP$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $PD$ ．

（1）求证： $PD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）当四边形 $POBD$ 是平行四边形时，求 $∠ APO$ 的度数．

为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．

（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？

（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的 $\frac{1}{3}$ ．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元 $/$ 桶、15元 $/$ 桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？

暑期将至，某校组织学生进行"防溺水"安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．

其中 $A$ 组的频数 $a$ 比 $B$ 组的频数 $b$ 小15．请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次共抽取　　名学生， $a$ 的值为　　；

（2）在扇形统计图中， $n =$ 　　， $E$ 组所占比例为　　 $%$ ；

（3）补全频数分布直方图；

（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．

如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边 $B$ 处测得对岸边 $A$ 处一棵大树位于北偏东 $60 °$ 方向，他以 $1.5 m / s$ 的速度沿着河岸向东步行 $40 s$ 后到达 $C$ 处，此时测得大树位于北偏东 $45 °$ 方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732)$