先化简，再求值：，其中ｘ为方程的根。-优题课

如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年 $(1535$ 年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：如图2，宝塔 $CD$ 垂直于地面，在地面上选取 $A$ ， $B$ 两处分别测得 $∠ CAD$ 和 $∠ CBD$ 的度数 $(A$ ， $D$ ， $B$ 在同一条直线上）．

数据收集：通过实地测量：地面上 $A$ ， $B$ 两点的距离为 $58 m$ ， $∠ CAD = 42 °$ ， $∠ CBD = 58 °$ ．

问题解决：求宝塔 $CD$ 的高度（结果保留一位小数）．

参考数据： $\sin 42 ° \approx 0.67$ ， $\cos 42 ° \approx 0.74$ ， $\tan 42 ° \approx 0.90$ ， $\sin 58 ° \approx 0.85$ ， $\cos 58 ° \approx 0.53$ ， $\tan 58 ° \approx 1.60$ ．

根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知 $\hat{AB}$ ， $C$ 是弦 $AB$ 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段 $AC$ 的垂直平分线 $DE$ ，分别交 $\hat{AB}$ 于点 $D$ ， $AC$ 于点 $E$ ，连接 $AD$ ， $CD$ ；

②以点 $D$ 为圆心， $DA$ 长为半径作弧，交 $\hat{AB}$ 于点 $F (F$ ， $A$ 两点不重合），连接 $DF$ ， $BD$ ， $BF$ ．

（2）直接写出引理的结论：线段 $BC$ ， $BF$ 的数量关系．

先化简，再求值： $(2 - \frac{2 x}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x = 4$ ．

计算： ${(2021 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - 2 \cos 45 °$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点 $P (0, 1)$ ，求 $a + b$ 的最小值；

（2）已知点 $P_{1} (- 2, 1)$ ， $P_{2} (2, - 1)$ ， $P_{3} (2, 1)$ 中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线 $l : y = kx + 1$ 与抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $A$ 在直线 $y = - 1$ 上，且 $∠ MAN = 90 °$ ，过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$ 于点 $B$ ， $C$ ．求证： $ΔMAB$ 与 $ΔMBC$ 的面积相等．