解方程组．-优题课

我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如右图， $AO$ 为入射光线，入射点为 $O$ ， $ON$ 为法线（过入射点 $O$ 且垂直于镜面的直线）， $OB$ 为反射光线，此时反射角 $∠ BON$ 等于入射角 $∠ AON$ ．

问题思考：

（1）如图1，一束光线从点 $A$ 处入射到平面镜上，反射后恰好过点 $B$ ，请在图中确定平面镜上的入射点 $P$ ，保留作图痕迹，并简要说明理由；

（2）如图2，两平面镜 $OM$ 、 $ON$ 相交于点 $O$ ，且 $OM ⊥ ON$ ，一束光线从点 $A$ 出发，经过平面镜反射后，恰好经过点 $B$ ．小昕说，光线可以只经过平面镜 $OM$ 反射后过点 $B$ ，也可以只经过平面镜 $ON$ 反射后过点 $B$ ．除了小昕的两种做法外，你还有其它做法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由；

问题拓展：

（3）如图3，两平面镜 $OM$ 、 $ON$ 相交于点 $O$ ，且 $∠ MON = 30 °$ ，一束光线从点 $S$ 出发，且平行于平面镜 $OM$ ，第一次在点 $A$ 处反射，经过若干次反射后又回到了点 $S$ ，如果 $SA$ 和 $AO$ 的长均为 $1 m$ ，求这束光线经过的路程；

（4）如图4，两平面镜 $OM$ 、 $ON$ 相交于点 $O$ ，且 $∠ MON = 15 °$ ，一束光线从点 $P$ 出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜 $OM$ ．设光线出发时与射线 $PM$ 的夹角为 $θ (0 ° < θ < 180 °)$ ，请直接写出满足条件的所有 $θ$ 的度数（注 $: OM$ 、 $ON$ 足够长）

甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．

（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是　　．

（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．

某自行车公司调查阳光中学学生对其产品的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷，结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型，分别记为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

（1）本次问卷共随机调查了　　名学生，扇形统计图中 $m =$ 　　．

（2）请根据数据信息补全条形统计图．

（3）若该校有1000名学生，估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有多少人？

如图，转盘 $A$ 的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘 $B$ 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动 $A$ 、 $B$ 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．

（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；

（2）求两个数字的积为奇数的概率．

（1）阅读材料：

教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为　　，故沿虚线 $AB$ 剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．

（2）类比解决：

如图2，已知边长为2的正三角形纸板 $ABC$ ，沿中位线 $DE$ 剪掉 $ΔADE$ ，请把纸板剩下的部分 $DBCE$ 剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．

①拼成的正三角形边长为　　；

②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．

（3）灵活运用：

如图3，把一边长为 $60 cm$ 的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中 $∠ BCD = 90 °$ ，延长 $DC$ 、 $BC$ 分别与 $AB$ 、 $AD$ 交于点 $E$ 、 $F$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $AB$ 、 $AD$ 的中点，在线段 $AC$ 和 $EF$ 处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）