如图，∠AOB为直角，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，O-优题课

定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

（1）如图1，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ ABC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ， $CD$ ．

求证：四边形 $ABCD$ 是等补四边形；

探究：

（2）如图2，在等补四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ，连接 $AC$ ， $AC$ 是否平分 $∠ BCD$ ？请说明理由．

运用：

（3）如图3，在等补四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ，其外角 $∠ EAD$ 的平分线交 $CD$ 的延长线于点 $F$ ， $CD = 10$ ， $AF = 5$ ，求 $DF$ 的长．

某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第 $x$ 天的生产成本 $y$ （元 $/$ 件）与 $x$ （天 $)$ 之间的关系如图所示，第 $x$ 天该产品的生产量 $z$ （件 $)$ 与 $x$ （天 $)$ 满足关系式 $z = - 2 x + 120$ ．

（1）第40天，该厂生产该产品的利润是　　元；

（2）设第 $x$ 天该厂生产该产品的利润为 $w$ 元．

①求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？

②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 为 $AB$ 的中点，以 $CD$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $AC$ ， $BC$ 于点 $E$ ， $F$ 两点，过点 $F$ 作 $FG ⊥ AB$ 于点 $G$ ．

（1）试判断 $FG$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

（2）若 $AC = 3$ ， $CD = 2.5$ ，求 $FG$ 的长．

某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和解析，下面给出了部分信息：

七、八年级学生一分钟跳绳成绩解析表

年级	平均数	中位数	众数
七	116	$a$	115
八	119	126	117

七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分7组： $60 ⩽ x < 80$ ， $80 ⩽ x < 100$ ， $\dots$ ， $180 ⩽ x < 200)$ 在 $100 ⩽ x < 120$ 这一组的是：

100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113 115 115 115 116 117 119

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　；

（2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩122次，八年级乙同学的成绩125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是　　（填“甲”或“乙” $)$ ，理由是　　．

（3）该校七年级共有500名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的有多少人？

小慧家与文具店相距 $960 m$ ，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行 $12 \min$ 来到文具店买笔记本，停留 $3 \min$ ，因家中有事，便沿着原路匀速跑步 $6 \min$ 返回家中．

（1）小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少？

（2）请你画出这个过程中，小慧离家的距离 $y$ 与时间 $x$ 的函数图象；

（3）根据图象回答，小慧从家出发后多少分钟离家距离为 $720 m$ ？