如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点-优题课

计算： $2^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} \cdot \sqrt{4} - 4 \tan 45 °$ ．

已知函数 $y_{1} = x + 2 m - 1$ ， $y_{2} = (2 m + 1) x + 1$ 均为一次函数， $m$ 为常数．

（1）如图1，将直线 $AO$ 绕点 $A (- 1, 0)$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到直线 $l$ ，直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $B$ ．若直线 $l$ 恰好是 $y_{1} = x + 2 m - 1$ ， $y_{2} = (2 m + 1) x + 1$ 中某个函数的图象，请直接写出点 $B$ 坐标以及 $m$ 可能的值；

（2）若存在实数 $b$ ，使得 $| m | - (b - 1) \sqrt{1 - b} = 0$ 成立，求函数 $y_{1} = x + 2 m - 1$ ， $y_{2} = (2 m + 1) x + 1$ 图象间的距离；

（3）当 $m > 1$ 时，函数 $y_{1} = x + 2 m - 1$ 图象分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于 $C$ ， $E$ 两点， $y_{2} = (2 m + 1) x + 1$ 图象交 $x$ 轴于 $D$ 点，将函数 $y = y_{1} \cdot y_{2}$ 的图象最低点 $F$ 向上平移 $\frac{56}{2 m + 1}$ 个单位后刚好落在一次函数 $y_{1} = x + 2 m - 1$ 图象上．设 $y = y_{1} \cdot y_{2}$ 的图象，线段 $OD$ ，线段 $OE$ 围成的图形面积为 $S$ ，试利用初中知识，探究 $S$ 的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到 $S$ 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01． $)$

菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $0 ° < ∠ ABO ⩽ 60 °$ ，点 $G$ 是射线 $OD$ 上一个动点，过点 $G$ 作 $GE / / DC$ 交射线 $OC$ 于点 $E$ ，以 $OE$ ， $OG$ 为邻边作矩形 $EOGF$ ．

（1）如图1，当点 $F$ 在线段 $DC$ 上时，求证： $DF = FC$ ；

（2）若延长 $AD$ 与边 $GF$ 交于点 $H$ ，将 $ΔGDH$ 沿直线 $AD$ 翻折 $180 °$ 得到 $ΔMDH$ ．

①如图2，当点 $M$ 在 $EG$ 上时，求证：四边形 $EOGF$ 为正方形；

②如图3，当 $\tan ∠ ABO$ 为定值 $m$ 时，设 $DG = k \cdot DO$ ， $k$ 为大于0的常数，当且仅当 $k > 2$ 时，点 $M$ 在矩形 $EOGF$ 的外部，求 $m$ 的值．

资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．

材料：某地有 $A$ ， $B$ 两家商贸公司（以下简称 $A$ ， $B$ 公司）．去年下半年 $A$ ， $B$ 公司营销区域面积分别为 $m$ 平方千米， $n$ 平方千米，其中 $m = 3 n$ ，公共营销区域面积与 $A$ 公司营销区域面积的比为 $\frac{2}{9}$ ；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整， $A$ 公司营销区域面积比去年下半年增长了 $x %$ ， $B$ 公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是 $A$ 公司的4倍，公共营销区域面积与 $A$ 公司营销区域面积的比为 $\frac{3}{7}$ ，同时公共营销区域面积与 $A$ ， $B$ 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了 $x$ 个百分点．

问题：

（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与 $B$ 公司营销区域面积的比），并答案；

（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且 $A$ 公司每半年每平方千米产生的经济收益均为 $B$ 公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $AB = 2 \sqrt{3} a$ ， $∠ ABC = 60$ ，过点 $B$ 的 $⊙ O$ 与边 $AB$ ， $BC$ 分别交于 $E$ ， $F$ 两点． $OG ⊥ BC$ ，垂足为 $G$ ， $OG = a$ ．连接 $OB$ ， $OE$ ， $OF$ ．

（1）若 $BF = 2 a$ ，试判断 $ΔBOF$ 的形状，并说明理由；

（2）若 $BE = BF$ ，求证： $⊙ O$ 与 $AD$ 相切于点 $A$ ．