先化简，再求值：,其中a＝

某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．

（1）求嘉淇走到十字道口 $A$ 向北走的概率；

（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．

已知训练场球筐中有 $A$ 、 $B$ 两种品牌的乒乓球共101个，设 $A$ 品牌乒乓球有 $x$ 个．

（1）淇淇说：“筐里 $B$ 品牌球是 $A$ 品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程： $101 - x = 2 x$ ．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；

（2）据工作人员透露： $B$ 品牌球比 $A$ 品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明 $A$ 品牌球最多有几个．

某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元 $/$ 本、10元 $/$ 本．现购进 $m$ 本甲种书和 $n$ 本乙种书，共付款 $Q$ 元．

（1）用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示 $Q$ ；

（2）若共购进 $5 \times 10^{4}$ 本甲种书及 $3 \times 10^{3}$ 本乙种书，用科学记数法表示 $Q$ 的值．

已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{9}{4} x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ 、点 $C$ 的坐标为 $(0, 3)$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1，若该抛物线的顶点为 $P$ ，求 $ΔPBC$ 的面积；

（3）如图2，有两动点 $D$ 、 $E$ 在 $ΔCOB$ 的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点 $C$ 和点 $B$ 同时出发，点 $D$ 沿折线 $COB$ 按 $C \to O \to B$ 方向向终点 $B$ 运动，点 $E$ 沿线段 $BC$ 按 $B \to C$ 方向向终点 $C$ 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 $t$ 秒，请解答下列问题：

①当 $t$ 为何值时， $ΔBDE$ 的面积等于 $\frac{33}{10}$ ；

②在点 $D$ 、 $E$ 运动过程中，该抛物线上存在点 $F$ ，使得依次连接 $AD$ 、 $DF$ 、 $FE$ 、 $EA$ 得到的四边形 $ADFE$ 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 $F$ 的坐标．

如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是边 $BC$ 上一点，且点 $E$ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合，点 $F$ 是 $BA$ 的延长线上一点，且 $AF = CE$ ．

（1）求证： $ΔDCE ≅ ΔDAF$ ；

（2）如图2，连接 $EF$ ，交 $AD$ 于点 $K$ ，过点 $D$ 作 $DH ⊥ EF$ ，垂足为 $H$ ，延长 $DH$ 交 $BF$ 于点 $G$ ，连接 $HB$ ， $HC$ ．

①求证： $HD = HB$ ；

②若 $DK \cdot HC = \sqrt{2}$ ，求 $HE$ 的长．