计算：．-优题课

如图， $P$ 是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点 $P$ 作 $PA ⊥ x$ 轴于点 $A$ ，以 $AP$ 为斜边在右侧作等腰 $Rt Δ APQ$ ，已知直角顶点 $Q$ 的纵坐标为 $- 2$ ，连接 $OQ$ 交 $AP$ 于 $B$ ， $BQ = 2 OB$ ．

（1）求点 $P$ 的坐标；

（2）连接 $OP$ ，求 $ΔOPQ$ 的面积与 $ΔOAQ$ 的面积之比．

（1）解不等式： $\frac{1}{2} (x - 1) > 2 + 3 x$ ；

（2）解方程组： $\{\begin{matrix} x + y = 5 \\ 2 x + 3 y = 13 \end{matrix}$ ．

计算：

（1） $| - 2 \sqrt{3} | - \sqrt{12} + {(\frac{1}{3})}^{- 2}$ ；

（2） ${(x - 2)}^{2} - (x + 2) (x - 2)$ ．

平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 、 $B$ 的横坐标分别为 $a$ 、 $a + 2$ ，二次函数 $y = - x^{2} + (m - 2) x + 2 m$ 的图象经过点 $A$ 、 $B$ ，且 $a$ 、 $m$ 满足 $2 a - m = d (d$ 为常数）．

（1）若一次函数 $y_{1} = kx + b$ 的图象经过 $A$ 、 $B$ 两点．

①当 $a = 1$ 、 $d = - 1$ 时，求 $k$ 的值；

②若 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，求 $d$ 的取值范围；

（2）当 $d = - 4$ 且 $a \neq - 2$ 、 $a \neq - 4$ 时，判断直线 $AB$ 与 $x$ 轴的位置关系，并说明理由；

（3）点 $A$ 、 $B$ 的位置随着 $a$ 的变化而变化，设点 $A$ 、 $B$ 运动的路线与 $y$ 轴分别相交于点 $C$ 、 $D$ ，线段 $CD$ 的长度会发生变化吗？如果不变，求出 $CD$ 的长；如果变化，请说明理由．

阅读理解：

如图①，图形 $l$ 外一点 $P$ 与图形 $l$ 上各点连接的所有线段中，若线段 $P A_{1}$ 最短，则线段 $P A_{1}$ 的长度称为点 $P$ 到图形 $l$ 的距离．

例如：图②中，线段 $P_{1} A$ 的长度是点 $P_{1}$ 到线段 $AB$ 的距离；线段 $P_{2} H$ 的长度是点 $P_{2}$ 到线段 $AB$ 的距离．

解决问题：

如图③，平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $(8, 4)$ ， $(12, 7)$ ，点 $P$ 从原点 $O$ 出发，以每秒1个单位长度的速度向 $x$ 轴正方向运动了 $t$ 秒．

（1）当 $t = 4$ 时，求点 $P$ 到线段 $AB$ 的距离；

（2） $t$ 为何值时，点 $P$ 到线段 $AB$ 的距离为5？

（3） $t$ 满足什么条件时，点 $P$ 到线段 $AB$ 的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）