我市某中学在创建特色校园的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌-优题课

我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

在等腰 $ΔADC$ 和等腰 $ΔBEC$ 中， $∠ ADC = ∠ BEC = 90 °$ ， $BC < CD$ ，将 $ΔBEC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转，连接 $AB$ ，点 $O$ 为线段 $AB$ 的中点，连接 $DO$ ， $EO$ ．

（1）如图1，当点 $B$ 旋转到 $CD$ 边上时，请直接写出线段 $DO$ 与 $EO$ 的位置关系和数量关系；

（2）如图2，当点 $B$ 旋转到 $AC$ 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）若 $BC = 4$ ， $CD = 2 \sqrt{6}$ ，在 $ΔBEC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转的过程中，当 $∠ ACB = 60 °$ 时，请直接写出线段 $OD$ 的长．

如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $AC$ 是直径， $AB = BC$ ，连接 $BD$ ，过点 $D$ 的直线与 $CA$ 的延长线相交于点 $E$ ，且 $∠ EDA = ∠ ACD$ ．

（1）求证：直线 $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AD = 6$ ， $CD = 8$ ，求 $BD$ 的长．

小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量 $y$ （本 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：

销售单价 $x$ （元 $)$	12	14	16
每周的销售量 $y$ （本 $)$	500	400	300

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为 $x$ 元 $(12 ⩽ x ⩽ 15$ ，且 $x$ 为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为 $w$ 元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？

如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 $AB$ ，在观测点 $C$ 处测得大桥主架顶端 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，测得大桥主架与水面交汇点 $B$ 的俯角为 $14 °$ ，观测点与大桥主架的水平距离 $CM$ 为60米，且 $AB$ 垂直于桥面．（点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $M$ 在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度 $AM$ ；（结果保留根号）

（2）求大桥主架在水面以上的高度 $AB$ ．（结果精确到1米）

（参考数据 $\sin 14 ° \approx 0.24$ ， $\cos 14 ° \approx 0.97$ ， $\tan 14 ° \approx 0.25$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

某中学为了创设"书香校园"，准备购买 $A$ ， $B$ 两种书架，用于放置图书．在购买时发现， $A$ 种书架的单价比 $B$ 种书架的单价多20元，用600元购买 $A$ 种书架的个数与用480元购买 $B$ 种书架的个数相同．

（1）求 $A$ ， $B$ 两种书架的单价各是多少元？

（2）学校准备购买 $A$ ， $B$ 两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个 $A$ 种书架？