一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示-优题课

一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象 $G$ 经过点 $A (4, 1)$ ，直线 $l : y = \frac{1}{4} x + b$ 与图象 $G$ 交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 $G$ 在点 $A$ ， $B$ 之间的部分与线段 $OA$ ， $OC$ ， $BC$ 围成的区域（不含边界）为 $W$ ．

①当 $b = - 1$ 时，直接写出区域 $W$ 内的整点个数；

②若区域 $W$ 内恰有4个整点，结合函数图象，求 $b$ 的取值范围．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过 $⊙ O$ 外一点 $P$ 作 $⊙ O$ 的两条切线 $PC$ ， $PD$ ，切点分别为 $C$ ， $D$ ，连接 $OP$ ， $CD$ ．

（1）求证： $OP ⊥ CD$ ；

（2）连接 $AD$ ， $BC$ ，若 $∠ DAB = 50 °$ ， $∠ CBA = 70 °$ ， $OA = 2$ ，求 $OP$ 的长．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / DC$ ， $AB = AD$ ，对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ， $AC$ 平分 $∠ BAD$ ，过点 $C$ 作 $CE ⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $OE$ ．

（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

（2）若 $AB = \sqrt{5}$ ， $BD = 2$ ，求 $OE$ 的长．

关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + 1 = 0$ ．

（1）当 $b = a + 2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根．

下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线 $l$ 及直线 $l$ 外一点 $P$ ．

求作：直线 $PQ$ ，使得 $PQ / / l$ ．

作法：如图，

①在直线 $l$ 上取一点 $A$ ，作射线 $PA$ ，以点 $A$ 为圆心， $AP$ 长为半径画弧，交 $PA$ 的延长线于点 $B$ ；

②在直线 $l$ 上取一点 $C$ （不与点 $A$ 重合），作射线 $BC$ ，以点 $C$ 为圆心， $CB$ 长为半径画弧，交 $BC$ 的延长线于点 $Q$ ；

③作直线 $PQ$ ．所以直线 $PQ$ 就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明： $∵ AB =$ 　　， $CB =$ 　　，

$∴ PQ / / l ($ 　　 $)$ （填推理的依据）．