如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个-优题课

（1）计算： ${(- 1)}^{4} \times | - 8 | + {(- 2)}^{3} \times {(\frac{1}{2})}^{2}$ ．

（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．

$\frac{2 x - 1}{3} > \frac{3 x - 2}{2} - 1$ ．

解： $2 (2 x - 1) > 3 (3 x - 2) - 6 \dots \dots$ 第一步

$4 x - 2 > 9 x - 6 - 6 \dots \dots$ 第二步

$4 x - 9 x > - 6 - 6 + 2 \dots \dots$ 第三步

$- 5 x > - 10 \dots \dots$ 第四步

$x > 2 \dots \dots$ 第五步

任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据　　（运算律）进行变形的；

②第　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　；

任务二：请直接写出该不等式的正确解集．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $AB$ 下方的抛物线上一动点，连接 $EB$ ， $EA$ ，当 $ΔEAB$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $AB$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y = mx + n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D (2, 0)$ ，连接 $DM$ ，求证： $∠ ADM - ∠ ACM = 45 °$ ．

如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ， $CB = CD$ ，问四边形 $ABCD$ 是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，垂美四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ．猜想： $A B^{2} + C D^{2}$ 与 $A D^{2} + B C^{2}$ 有什么关系？并证明你的猜想．

（3）解决问题：如图3，分别以 $Rt Δ ACB$ 的直角边 $AC$ 和斜边 $AB$ 为边向外作正方形 $ACFG$ 和正方形 $ABDE$ ，连结 $CE$ ， $BG$ ， $GE$ ．已知 $AC = 4$ ， $AB = 5$ ，求 $GE$ 的长．

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆，点 $O$ 在 $BC$ 边上， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $BD$ ， $CD$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线与 $AC$ 的延长线交于点 $P$ ．

（1）求证： $DP / / BC$ ；

（2）求证： $ΔABD ∽ ΔDCP$ ；

（3）当 $AB = 5 cm$ ， $AC = 12 cm$ 时，求线段 $PC$ 的长．

小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 $y = \frac{x - 2}{x} (x \neq 0)$ 的图象与性质进行探究．

因为 $y = \frac{x - 2}{x} = 1 - \frac{2}{x}$ ，即 $y = - \frac{2}{x} + 1$ ，所以可以对比函数 $y = - \frac{2}{x}$ 来探究．

列表：（1）下表列出 $y$ 与 $x$ 的几组对应值，请写出 $m$ ， $n$ 的值： $m =$ 　　， $n =$ 　　；

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以 $y = \frac{x - 2}{x}$ 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把 $y$ 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；

（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而　　；（填“增大”或“减小” $)$

②函数 $y = \frac{x - 2}{x}$ 的图象是由 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象向　　平移　　个单位而得到．

③函数图象关于点　　中心对称．（填点的坐标）