定义在
上的函数
同时满足以下条件：①函数
在
上是减函数，在
上是增函数；②
是偶函数；③函数在
处的切线与直线
垂直.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设
，若存在
使得
，求实数
的取值范围.
对于数列
，把
作为新数列
的第一项，把
或
（
）作为新数列的第
项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列
的一个生成数列是
．已知数列为数列
的生成数列，
为数列的前
项和．
（1）写出
的所有可能值；
（2）若生成数列满足
，求数列
的通项公式；
（3）证明：对于给定的
，
的所有可能值组成的集合为
．
给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.
（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点
是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线
交“准圆”于点
.
（ⅰ）当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时，求直线的方程，
并证明
；
（ⅱ）求证：线段
的长为定值.
设函数
.
（1）若
，求函数
的单调区间；
（2）若函数
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围；
（3）过坐标原点
作曲线
的切线，证明:切点的横坐标为
.
如图，正三棱柱
的底面边长是
，侧棱长是
，
是
的中点．
（1）求证：
∥平面
；
（2）求二面角
的大小；
（3）在线段
上是否存在一点
，使得平面
平面，若存在，求出
的长；若不存在，说明理由.
经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出
条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：
罗非鱼的汞含量（ppm）
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《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过
ppm．
（1）检查人员从这条鱼中，随机抽出
条，求条中恰有
条汞含量超标的概率；
（2）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记
表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望
．