如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半-优题课

如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.

（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；
（2）设,求面积的最大值及此时的值.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：西姆松定理

设 $b$ 和 $c$ 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 $ξ$ 表示方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 实根的个数(重根按一个计).
(I)求方程 $x^{2} + b x + c = 0$

(II) 求 $ξ$ 的分布列和数学期望;
(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有实根的概率.

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 3^{2} a_{3} + . . . + 3^{n - 1} a_{n} = \frac{n}{3}, n \in N^{+}$ .

(I)求数列 ${a_{n}}$ 的通项;   (II)设 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

已知函数 $f (x) = e^{x} - k x, x \in R$

（Ⅰ）若 $k = e$ ，试确定函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若 $k > 0$ ，且对于任意 $x \in R$ ， $f (|x|) > 0$ 恒成立，试确定实数 $k$ 的取值范围；
（Ⅲ）设函数 $F (x) = f (x) + f (- x)$ ，求证： $F (1) F (2) . . . F (n) > (e^{n + 1} + 2)^{\frac{n}{2}} (n \in N^{*}$

等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1 + \sqrt{2}, S_{3} = 9 + 3 \sqrt{2}$

（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ 与前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n} (n \in N^{*})$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

如图，已知点 $F (1, 0)$ ，直线 $l : x = - 1$ ， $P$ 为平面上的动点，过 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为点 $Q$ ，且 $\overset{⇀}{Q P} \cdot \overset{⇀}{Q F} = \overset{⇀}{F P} \cdot \overset{⇀}{F Q}$ ．

（Ⅰ）求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（Ⅱ）过点 $F$ 的直线交轨迹 $C$ 于 $A, B$ 两点，交直线 $l$ 于点 $M$ ，已知 $\overset{⇀}{M A} = λ_{1} \overset{⇀}{A F}$ ， $\overset{⇀}{M B} = λ_{2} \overset{⇀}{A F}$ ,求 $λ_{1} + λ_{2}$ 的值；

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