已知：如图，⊙O中弦AB、CD互相垂直，垂足为E，CE5cm-优题课

如图1，过点 $A (8, 0)$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 与直线 $y = \frac{2}{3} x$ 交于点 $B (6, n)$ ．点 $P$ 是线段 $OB$ 上一动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $D$ ，交抛物线于点 $E$ ．设 $ΔBOE$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）请直接写出 $n$ 的值及抛物线的解析式．

（2）为探究 $S$ 最大时点 $P$ 的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助 $PE$ 的长与三角形面积公式，求出 $S$ 关于 $m$ 的函数关系式，可确定点 $P$ 的位置．

乙：当点 $P$ 运动到点 $O$ 或点 $B$ 时， $S$ 的值可看作0，则当点 $P$ 运动到 $OB$ 中点时， $S$ 最大，即 $S$ 最大时，点 $P$ 为 $OB$ 的中点．

请参考甲的方法求出 $S$ 最大时点 $P$ 的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线 $l$ 与任意抛物线相交于 $M$ 、 $N$ 两点， $G$ 是线段 $MN$ 上的一个动点，过点 $G$ 作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点 $H$ ．当 $ΔMHN$ 的面积最大时，点 $G$ 一定是线段 $MN$ 的中点吗？试作出判断并说明理由．

（1）探索发现

如图1，在 $ΔABC$ 中，点 $D$ 在边 $BC$ 上， $ΔABD$ 与 $ΔADC$ 的面积分别记为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ，试判断 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 与 $\frac{BD}{CD}$ 的数量关系，并说明理由．

（2）阅读解析

小东遇到这样一个问题：如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ，射线 $AM$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，点 $E$ 、 $F$ 在 $AM$ 上，且 $∠ CEM = ∠ BFM = 90 °$ ，试判断 $BF$ 、 $CE$ 、 $EF$ 三条线段之间的数量关系．

小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．

填空：①图2中的一对全等三角形为　　；

② $BF$ 、 $CE$ 、 $EF$ 三条线段之间的数量关系为　　．

（3）类比探究

如图3，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ， $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 在射线 $AC$ 上，且 $∠ BCF = ∠ DEF = ∠ BAD$ ．

①判断 $BC$ 、 $DE$ 、 $CE$ 三条线段之间的数量关系，并说明理由；

②若 $OD = 3 OB$ ， $ΔAED$ 的面积为2，直接写出四边形 $ABCD$ 的面积．

某景区售出的门票分为成人票和儿童票，购买3张成人票和1张儿童票共需350元，购买1张成人票和2张儿童票共需200元．

（1）求成人票和儿童票的单价；

（2）若干家庭结伴到该景区旅游，成人和儿童共30人．售票处规定：一次性购票数量达到30张，可购买团体票，每张票均按成人票价的八折出售，请你帮助他们选择花费最少的购票方式．

如图，小明在笔直的河岸 $MN$ 上的点 $A$ 处，以正对岸明显的标志点 $O$ 为参照点，设计出两种测量河宽 $OA$ 的方案，绘制了相应的示意图，并用测角仪、卷尺及标杆测得一些数据如下：

（1）请你选择一种方案，结合示意图，简述测量过程；

（2）按照你选定的方案，求河宽 $OA$ ．（参考数据： $\tan 75 ° \approx \frac{15}{4}$ ， $\tan 56 ° \approx \frac{3}{2})$

如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ AOB = 120 °$ ，点 $C$ 为 $\hat{AB}$ 的中点，延长 $OC$ 到点 $D$ ，使 $CD = OC$ ， $AB$ 交 $OC$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $DA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OA = 6$ ，求弦 $AB$ 的长．