计算：.-优题课

如图，已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x < 0)$ 的图象交于点 $B (- 2, n)$ ，过点 $B$ 作 $BC ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，点 $D (3 - 3 n, 1)$ 是该反比例函数图象上一点．

（1）求 $m$ 的值；

（2）若 $∠ DBC = ∠ ABC$ ，求一次函数 $y = kx + b$ 的表达式．

某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．

（1）求每个篮球和每个足球的售价；

（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？

解方程和不等式组：

（1） $\frac{2 x - 5}{x - 2} = \frac{3 x - 3}{x - 2} - 3$ ；

（2） $\{\begin{matrix} - 2 x ⩽ 6 \\ 4 x + 1 < 5 \end{matrix}$ ．

先化简，再求值： $(x + 2) (x - 2) - x (x - 1)$ ，其中 $x = - 2$ ．

如图1，二次函数 $y_{1} = (x - 2) (x - 4)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），其对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，它的顶点为点 $D$ ．

（1）写出点 $D$ 的坐标　　．

（2）点 $P$ 在对称轴 $l$ 上，位于点 $C$ 上方，且 $CP = 2 CD$ ，以 $P$ 为顶点的二次函数 $y_{2} = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象过点 $A$ ．

①试说明二次函数 $y_{2} = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象过点 $B$ ；

②点 $R$ 在二次函数 $y_{1} = (x - 2) (x - 4)$ 的图象上，到 $x$ 轴的距离为 $d$ ，当点 $R$ 的坐标为　　时，二次函数 $y_{2} = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象上有且只有三个点到 $x$ 轴的距离等于 $2 d$ ；

③如图2，已知 $0 < m < 2$ ，过点 $M (0, m)$ 作 $x$ 轴的平行线，分别交二次函数 $y_{1} = (x - 2) (x - 4)$ 、 $y_{2} = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象于点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ （点 $E$ 、 $G$ 在对称轴 $l$ 左侧），过点 $H$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $N$ ，交二次函数 $y_{1} = (x - 2) (x - 4)$ 的图象于点 $Q$ ，若 $ΔGHN ∽ ΔEHQ$ ，求实数 $m$ 的值．