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科目数学题型计算题难度较易

知识点：解直角三角形

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如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - 2 x + 10$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $C$ 的坐标是 $(8, 4)$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求过 $O$ ， $A$ ， $C$ 三点的抛物线的解析式，并判断 $ΔABC$ 的形状；

（2）动点 $P$ 从点 $O$ 出发，沿 $OB$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $B$ 运动；同时，动点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿 $BC$ 以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时， $PA = QA$ ？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 $M$ ，使以 $A$ ， $B$ ， $M$ 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品 $x$ 千克．

（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用 $y$ （元）与 $x$ （千克）之间的函数关系式；

（2）小明选择哪家快递公司更省钱？

一艘轮船位于灯塔 $P$ 南偏西 $60 °$ 方向，距离灯塔20海里的 $A$ 处，它向东航行多少海里到达灯塔 $P$ 南偏西 $45 °$ 方向上的 $B$ 处（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果精确到 $0.1)$ ？

计算： $| - 3 | + \sqrt{3} \tan 30 ° - \sqrt{12} - {(2016 - π)}^{0}$ ．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 3, 0)$ ， $B (9, 0)$ 和 $C (0, 4)$ ． $CD$ 垂直于 $y$ 轴，交抛物线于点 $D$ ， $DE$ 垂直与 $x$ 轴，垂足为 $E$ ， $l$ 是抛物线的对称轴，点 $F$ 是抛物线的顶点．

（1）求出二次函数的表达式以及点 $D$ 的坐标；

（2）若 $Rt Δ AOC$ 沿 $x$ 轴向右平移到其直角边 $OC$ 与对称轴 $l$ 重合，再沿对称轴 $l$ 向上平移到点 $C$ 与点 $F$ 重合，得到 $Rt$ △ $A_{1} O_{1} F$ ，求此时 $Rt$ △ $A_{1} O_{1} F$ 与矩形 $OCDE$ 重叠部分的图形的面积；

（3）若 $Rt Δ AOC$ 沿 $x$ 轴向右平移 $t$ 个单位长度 $(0 < t ⩽ 6)$ 得到 $Rt$ △ $A_{2} O_{2} C_{2}$ ， $Rt$ △ $A_{2} O_{2} C_{2}$ 与 $Rt Δ OED$ 重叠部分的图形面积记为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数表达式，并写出自变量 $t$ 的取值范围．

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