化简：．-优题课

先化简，再求值： $(\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y}) \div \frac{1}{xy + y^{2}}$ ，其中 $x = \sqrt{5} + 2$ ， $y = \sqrt{5} - 2$ ．

如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其对称轴交抛物线于点 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $E$ ，已知 $OB = OC = 6$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$ 的坐标；

（2）连接 $BD$ ， $F$ 为抛物线上一动点，当 $∠ FAB = ∠ EDB$ 时，求点 $F$ 的坐标；

（3）平行于 $x$ 轴的直线交抛物线于 $M$ 、 $N$ 两点，以线段 $MN$ 为对角线作菱形 $MPNQ$ ，当点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $PQ = \frac{1}{2} MN$ 时，求菱形对角线 $MN$ 的长．

定义：

数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．

理解：

（1）如图1，已知 $A$ 、 $B$ 是 $⊙ O$ 上两点，请在圆上找出满足条件的点 $C$ ，使 $ΔABC$ 为“智慧三角形”（画出点 $C$ 的位置，保留作图痕迹）；

（2）如图2，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $BC$ 的中点， $F$ 是 $CD$ 上一点，且 $CF = \frac{1}{4} CD$ ，试判断 $ΔAEF$ 是否为“智慧三角形”，并说明理由；

运用：

（3）如图3，在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ O$ 的半径为1，点 $Q$ 是直线 $y = 3$ 上的一点，若在 $⊙ O$ 上存在一点 $P$ ，使得 $ΔOPQ$ 为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 $P$ 的坐标．

某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元 $/$ 件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元 $/$ 件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线 $ODE$ 表示日销售量 $y$ （件）与销售时间 $x$ （天）之间的函数关系，已知线段 $DE$ 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．

（1）第24天的日销售量是　　件，日销售利润是　　元．

（2）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $BC$ 、 $AC$ 分别交于 $D$ 、 $E$ 两点，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AE = 4$ ， $\cos A = \frac{2}{5}$ ，求 $DF$ 的长．