如图：已知一次函数的图像分别交轴、轴于、两点，且点在一次函数-优题课

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题文

如图：已知一次函数的图像分别交轴、轴于、两点，且点在一次函数的图像上，⊥轴于点．

（1）求的值及、两点的坐标；
（2）如果点在线段上，且，求点的坐标；
（3）如果点在轴上，那么当△与△相似时，求点的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

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先化简，再求值： $(\frac{2 x + 1}{x + 1} + x - 1) \div \frac{x + 2}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x$ 满足 $x^{2} - x - 2 = 0$ ．

计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(π - 3)}^{0} - 2 \cos 30 ° + | 3 - \sqrt{12} |$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + kx + h (a > 0)$ ．

（1）通过配方可以将其化成顶点式为　　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在 $x$ 轴　　（填上方或下方），即 $4 ah - k^{2}$ 　　0（填大于或小于）时，该抛物线与 $x$ 轴必有两个交点；

（2）若抛物线上存在两点 $A (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，分布在 $x$ 轴的两侧，则抛物线顶点必在 $x$ 轴下方，请你结合 $A$ 、 $B$ 两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设 $x_{1} < x_{2}$ 且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）

（3）根据二次函数（1）（2）结论，求证：当 $a > 0$ ， $(a + c) (a + b + c) < 0$ 时， ${(b - c)}^{2} > 4 a (a + b + c)$ ．

已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的任意一条直径．

（1）用图1，求证： $⊙ O$ 是以直径 $AB$ 所在直线为对称轴的轴对称图形；

（2）已知 $⊙ O$ 的面积为 $4 π$ ，直线 $CD$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $BD ⊥ CD$ ，垂足为 $D$ ，如图2．

求证：① $\frac{1}{2} B C^{2} = 2 BD$ ；

②改变图2中切点 $C$ 的位置，使得线段 $OD ⊥ BC$ 时， $OD = 2 \sqrt{2}$ ．

为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买 $A$ 品牌足球共花费2880元， $B$ 品牌足球共花费2400元，且购买 $A$ 品牌足球数量是 $B$ 品牌数量的1.5倍，每个足球的售价， $A$ 品牌比 $B$ 品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买 $A$ 、 $B$ 两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整， $A$ 品牌比去年提高了 $5 %$ ， $B$ 品牌比去年降低了 $10 %$ ，如果今年购买 $A$ 、 $B$ 两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个 $B$ 品牌足球？

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