已知抛物线yax2kxh(a<0)．（1）通过配方可以将其化-优题课

已知抛物线 $y = a x^{2} + kx + h (a > 0)$ ．

（1）通过配方可以将其化成顶点式为　　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在 $x$ 轴　　（填上方或下方），即 $4 ah - k^{2}$ 　　0（填大于或小于）时，该抛物线与 $x$ 轴必有两个交点；

（2）若抛物线上存在两点 $A (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，分布在 $x$ 轴的两侧，则抛物线顶点必在 $x$ 轴下方，请你结合 $A$ 、 $B$ 两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设 $x_{1} < x_{2}$ 且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）

（3）根据二次函数（1）（2）结论，求证：当 $a > 0$ ， $(a + c) (a + b + c) < 0$ 时， ${(b - c)}^{2} > 4 a (a + b + c)$ ．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：二次函数的性质抛物线与x轴的交点二次函数综合题

在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $\frac{AC}{BC} = m$ ， $D$ 是边 $BC$ 上一点，将 $ΔABD$ 沿 $AD$ 折叠得到 $ΔAED$ ，连接 $BE$ ．

（1）特例发现

如图1，当 $m = 1$ ， $AE$ 落在直线 $AC$ 上时．

①求证： $∠ DAC = ∠ EBC$ ；

②填空： $\frac{CD}{CE}$ 的值为　　；

（2）类比探究

如图2，当 $m \neq 1$ ， $AE$ 与边 $BC$ 相交时，在 $AD$ 上取一点 $G$ ，使 $∠ ACG = ∠ BCE$ ， $CG$ 交 $AE$ 于点 $H$ ．探究 $\frac{CG}{CE}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用

在（2）的条件下，当 $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $D$ 是 $BC$ 的中点时，若 $EB \cdot EH = 6$ ，求 $CG$ 的长．

为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：

品种	进价（元 $/$ 斤）	售价（元 $/$ 斤）
鲢鱼	$a$	5
草鱼	$b$	销量不超过200斤的部分	销量超过200斤的部分
		8	7

已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．

（1）求 $a$ ， $b$ 的值；

（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼 $x$ 斤（销售过程中损耗不计）．

①分别求出每天销售鲢鱼获利 $y_{1}$ （元 $)$ ，销售草鱼获利 $y_{2}$ （元 $)$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低 $m$ 元，草鱼售价全部定为7元 $/$ 斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利 $W$ （元 $)$ 最小值不少于320元，求 $m$ 的最大值．

如图，直线 $AB$ 经过 $⊙ O$ 上的点 $C$ ，直线 $BO$ 与 $⊙ O$ 交于点 $F$ 和点 $D$ ， $OA$ 与 $⊙ O$ 交于点 $E$ ，与 $DC$ 交于点 $G$ ， $OA = OB$ ， $CA = CB$ ．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $FC / / OA$ ， $CD = 6$ ，求图中阴影部分面积．

小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 $y = \frac{1}{x + 1}$ 的图象与性质．其研究过程如下：

（1）绘制函数图象

①列表：如表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $m =$ 　　；

$x$	$\dots$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- \frac{3}{2}$	$- \frac{4}{3}$	$- \frac{2}{3}$	$- \frac{1}{2}$	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	$- \frac{1}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	3	2	$m$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\dots$

②描点：根据表中的数值描点 $(x, y)$ ，请补充描出点 $(0, m)$ ；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（2）探究函数性质

判断下列说法是否正确（正确的填“ $\sqrt$ ”，错误的填“ $\times$ ” $)$

①函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小：　　．

②函数图象关于原点对称：　　．

③ 函数图象与直线 $x = - 1$ 没有交点：　　．

如图， $BD$ 为 $▱ ABCD$ 的对角线．

（1）作对角线 $BD$ 的垂直平分线，分别交 $AD$ ， $BC$ ， $BD$ 于点 $E$ ， $F$ ， $O$ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接 $BE$ ， $DF$ ，求证：四边形 $BEDF$ 为菱形．