将抛物线向左平移个单位长度，使之过点，求的值．-优题课

背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 $E$ 、 $A$ 、 $D$ 在同一条直线上），发现 $BE = DG$ 且 $BE ⊥ DG$ ．

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转（如图 $1)$ ，还能得到 $BE = DG$ 吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形 $AEFG$ 和菱形 $ABCD$ ，将菱形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $2)$ ，试问当 $∠ EAG$ 与 $∠ BAD$ 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 $BE = DG$ 仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 $AEFG$ 和矩形 $ABCD$ ，且 $\frac{AE}{AG} = \frac{AB}{AD} = \frac{2}{3}$ ， $AE = 4$ ， $AB = 8$ ，将矩形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $3)$ ，连接 $DE$ ， $BG$ ．小组发现：在旋转过程中， $D E^{2} + B G^{2}$ 的值是定值，请求出这个定值．

端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．

（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？

（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AD$ 与过点 $C$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$ ．连接 $BC$ 并延长，交 $AD$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $AE = AB$ ；

（2）若 $AB = 10$ ， $BC = 6$ ，求 $CD$ 的长．

以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了 $m$ 名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题．

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　．

（2）请补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，"软件"所对应的扇形的圆心角是　　度；

（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计"总线"专业的毕业生有　　名．

先化简，再求值： $\frac{a + 1}{a^{2} - 2 a + 1} \div (2 + \frac{3 - a}{a - 1})$ ，其中 $a = 2$ ．