如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥-优题课

定义：点 $P$ 是 $ΔABC$ 内部或边上的点（顶点除外），在 $ΔPAB$ ， $ΔPBC$ ， $ΔPCA$ 中，若至少有一个三角形与 $ΔABC$ 相似，则称点 $P$ 是 $ΔABC$ 的自相似点．

例如：如图1，点 $P$ 在 $ΔABC$ 的内部， $∠ PBC = ∠ A$ ， $∠ BCP = ∠ ABC$ ，则 $ΔBCP ∽ ΔABC$ ，故点 $P$ 是 $ΔABC$ 的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点 $M$ 是曲线 $y = \frac{3 \sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 上的任意一点，点 $N$ 是 $x$ 轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点 $P$ 是 $OM$ 上一点， $∠ ONP = ∠ M$ ，试说明点 $P$ 是 $ΔMON$ 的自相似点；当点 $M$ 的坐标是 $(\sqrt{3}$ ， $3)$ ，点 $N$ 的坐标是 $(\sqrt{3}$ ， $0)$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（2）如图3，当点 $M$ 的坐标是 $(3, \sqrt{3})$ ，点 $N$ 的坐标是 $(2, 0)$ 时，求 $ΔMON$ 的自相似点的坐标；

（3）是否存在点 $M$ 和点 $N$ ，使 $ΔMON$ 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数 $y = m x^{2} - (2 m - 5) x + m - 2$ 的图象与 $x$ 轴有两个公共点．

（1）求 $m$ 的取值范围，并写出当 $m$ 取值范围内取最大整数时函数的解析式；

（2）题（1）中求得的函数记为 $C_{1}$ ．

①当 $n ⩽ x ⩽ - 1$ 时， $y$ 的取值范围是 $1 ⩽ y ⩽ - 3 n$ ，求 $n$ 的值；

②函数 $C_{2} : y = m {(x - h)}^{2} + k$ 的图象由函数 $C_{1}$ 的图象平移得到，其顶点 $P$ 落在以原点为圆心，半径为 $\sqrt{5}$ 的圆内或圆上．设函数 $C_{1}$ 的图象顶点为 $M$ ，求点 $P$ 与点 $M$ 距离最大时函数 $C_{2}$ 的解析式．

实验探究：

（1）如图1，对折矩形纸片 $ABCD$ ，使 $AD$ 与 $BC$ 重合，得到折痕 $EF$ ，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $EF$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $BM$ ，同时得到线段 $BN$ ， $MN$ ．请你观察图1，猜想 $∠ MBN$ 的度数是多少，并证明你的结论．

（2）将图1中的三角形纸片 $BMN$ 剪下，如图2．折叠该纸片，探究 $MN$ 与 $BM$ 的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．

如图，已知 $⊙ O$ 的直径 $AB = 12$ ，弦 $AC = 10$ ， $D$ 是 $\hat{BC}$ 的中点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ ，交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求 $AE$ 的长．

某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量 $y$ （单位：个）与销售单价 $x$ （单位：元）有如下关系： $y = - x + 60 (30 ⩽ x ⩽ 60)$ ．

设这种双肩包每天的销售利润为 $w$ 元．

（1）求 $w$ 与 $x$ 之间的函数解析式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？