计算：①②③-优题课

解方程： $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{x^{2} - 1}$ ．

计算 $(x + y) (x^{2} - xy + y^{2})$

如图①，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC = 3$ ， $∠ BAC = 100 °$ ， $D$ 是 $BC$ 的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段 $AD$ 上任取一点 $P$ ，连接 $PB$ ．将线段 $PB$ 绕点 $P$ 按逆时针方向旋转 $80 °$ ，点 $B$ 的对应点是点 $E$ ，连接 $BE$ ，得到 $ΔBPE$ ．小明发现，随着点 $P$ 在线段 $AD$ 上位置的变化，点 $E$ 的位置也在变化，点 $E$ 可能在直线 $AD$ 的左侧，也可能在直线 $AD$ 上，还可能在直线 $AD$ 的右侧．

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点 $E$ 在直线 $AD$ 上时，如图②所示．

① $∠ BEP =$ 　　 $°$ ；

②连接 $CE$ ，直线 $CE$ 与直线 $AB$ 的位置关系是　　．

（2）请在图③中画出 $ΔBPE$ ，使点 $E$ 在直线 $AD$ 的右侧，连接 $CE$ ．试判断直线 $CE$ 与直线 $AB$ 的位置关系，并说明理由．

（3）当点 $P$ 在线段 $AD$ 上运动时，求 $AE$ 的最小值．

快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为 $x$ 小时，快车行驶的路程为 $y_{1}$ 千米，慢车行驶的路程为 $y_{2}$ 千米．如图中折线 $OAEC$ 表示 $y_{1}$ 与 $x$ 之间的函数关系，线段 $OD$ 表示 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数关系．

请解答下列问题：

（1）求快车和慢车的速度；

（2）求图中线段 $EC$ 所表示的 $y_{1}$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（3）线段 $OD$ 与线段 $EC$ 相交于点 $F$ ，直接写出点 $F$ 的坐标，并解释点 $F$ 的实际意义．

在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为5、8、8，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．

（1）用树状图或列表等方法列出所有可能结果；

（2）求两次摸到不同数字的概率．