(12分)一个底面粗糙、质量为m的劈放在水平地面上，劈的斜面-优题课

如图， $a b$ 和 $c d$ 是两条竖直放置的长直光滑金属导轨， $M N$ 和 $M ` N `$ 是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为 $m$ 和2 $m$ ．竖直向上的外力 $F$ 作用在杆 $M N$ 上，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触；两杆的总电阻为 $R$ ，导轨间距为 $l$ ．整个装置处在磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直．导轨电阻可忽略，重力加速度为 $g$ ．在 $t$ =0时刻将细线烧断，保持 $F$ 不变，金属杆和导轨始终接触良好．求：

（1）细线少断后，任意时刻两杆运动的速度之比；
（2）两杆分别达到的最大速度．

如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆． $a b$ 为沿水平方向的直径．若在 $a$ 点以初速度 $v_{0}$ 沿 $a b$ 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的 $c$ 点．已知 $c$ 点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径．

如图所示，两根相距为L的金属导轨固定于倾角为θ的斜面上，导轨电阻不计，一根质量为m、长为L、电阻为3R 的金属棒两端放于导轨上，金属棒与导轨间的动摩擦因数为µ，棒与导轨的接触电阻不计。导轨下端连有阻值为2R的电阻和电流传感器，电流传感器与计算机相连，且其电阻忽略不计。斜面上分布着宽度为a、间距为b的2014段方向垂直于斜面向下的匀强磁场（a>b）。金属棒初始位于OO′处，与第1磁场区域相距2a，金属棒由静止开始释放。（重力加速度为g）

（1）为使金属棒均能匀速通过每段匀强磁场区域，求第1磁场区域的磁感应强度B₁大小；
（2）在满足（1）情况下，求金属棒进入第3磁场区域时的速度v₃大小和第2014磁场区域的磁感应强度B₂₀₁₄大小；
（3）现使2014段磁场区域的磁感应强度均相同，当金属棒穿过各段磁场时，发现计算机显示出的电流I随时间t以固定的周期做周期性变化，请在答题纸上给定的坐标系中定性地画出计算机显示的I－t图（假设从金属棒进入第1段磁场开始计时，图中T为其周期）。
（4）在（3）的情况下，求整个过程中导轨下端电阻上产生的热量，以及金属棒从第2014磁场区域穿出时的速度大小。

如图所示，xOy坐标系的第一象限内，有一边界线OA与y轴的夹角∠AOy=45^O，边界线的上方与下方分别存在垂直纸面向外与向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B=0.25T．一束带电量q=8.0×10^-19C、质量 m=8.0×10^-26kg的正离子以v=5×10⁵m/s从y轴上坐标为（0，0.4m）的Q点垂直y轴射入磁场区。求：

（1）离子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（2）现只改变B的大小，使离子不经过OA边界而直接从y轴离开磁场区域，则B应满足什么条件？
（3）若B=0.125T，且从离子经过Q点开始计时，则离子在哪些时刻恰好经过OA边界？

某次燃放“爆竹”过程中，质量M=0.3kg（内含炸药的质量可以忽略不计）的“爆竹”从地面上以初速度v₀ =30m/s竖直向上腾空而起。到达最高点时炸裂为沿水平方向相反飞行的两块，其中A块质量m=0.2kg，其炸裂瞬间的速度大小是另一块的一半。按环保和安全要求，两块都能落到以发射点为圆心、半径R=60m的圆周内。空气阻力不计，重力加速度g=10m/s²。求：
（1）“爆竹”能够到达的最大高度；
（2）A块的最大落地速度；
（3）整个过程中，“爆竹”释放化学能的最大值。