如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2-优题课

如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)、B（-1，-2）、C（-1，1）.

（1）（画图与写坐标各3分）画出与△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，A、B、C的对称点分别为A₁、B₁、C₁，则点A₁、B₁、C₁的坐标分别为( )、（）、( ).
（2）画出B点关于C点的对称点B₂(保留作图痕迹），并求出其坐标.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．

（1）该班男生“小刚被抽中”是　　事件，“小悦被抽中”是　　事件（填“不可能”或“必然”或“随机” $)$ ；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　　；

（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = 8$ ， $BC = 4$ ， $CA = 6$ ， $CD / / AB$ ， $BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线， $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，求 $AE$ 的长．

如图，已知 $P$ 为锐角 $∠ MAN$ 内部一点，过点 $P$ 作 $PB ⊥ AM$ 于点 $B$ ， $PC ⊥ AN$ 于点 $C$ ，以 $PB$ 为直径作 $⊙ O$ ，交直线 $CP$ 于点 $D$ ，连接 $AP$ ， $BD$ ， $AP$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ BPD = ∠ BAC$ ．

（2）连接 $EB$ ， $ED$ ，当 $\tan ∠ MAN = 2$ ， $AB = 2 \sqrt{5}$ 时，在点 $P$ 的整个运动过程中．

①若 $∠ BDE = 45 °$ ，求 $PD$ 的长．

②若 $ΔBED$ 为等腰三角形，求所有满足条件的 $BD$ 的长．

（3）连接 $OC$ ， $EC$ ， $OC$ 交 $AP$ 于点 $F$ ，当 $\tan ∠ MAN = 1$ ， $OC / / BE$ 时，记 $ΔOFP$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔCFE$ 的面积为 $S_{2}$ ，请写出 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排 $x$ 人生产乙产品．

（1）根据信息填表：

产品种类	每天工人数（人 $)$	每天产量（件 $)$	每件产品可获利润（元 $)$
甲			15
乙	$x$	$x$

（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．

（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润 $W$ （元 $)$ 的最大值及相应的 $x$ 值．

如图， $D$ 是 $ΔABC$ 的 $BC$ 边上一点，连接 $AD$ ，作 $ΔABD$ 的外接圆，将 $ΔADC$ 沿直线 $AD$ 折叠，点 $C$ 的对应点 $E$ 落在 $⊙ O$ 上．

（1）求证： $AE = AB$ ．

（2）若 $∠ CAB = 90 °$ ， $\cos ∠ ADB = \frac{1}{3}$ ， $BE = 2$ ，求 $BC$ 的长．