计算：-优题课

如图，已知抛物线交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于 $C$ 点， $A$ 点坐标为 $(- 1, 0)$ ， $OC = 2$ ， $OB = 3$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 为坐标平面内一点，以 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $P$ 为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$ 点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点 $M_{1}$ 、 $M_{2}$ 、 $M_{3}$ 使得△ $M_{1} BC$ 、△ $M_{2} BC$ 、△ $M_{3} BC$ 的面积均为定值 $S$ ，求出定值 $S$ 及 $M_{1}$ 、 $M_{2}$ 、 $M_{3}$ 这三个点的坐标．

某学校为改善办学条件，计划采购 $A$ 、 $B$ 两种型号的空调，已知采购3台 $A$ 型空调和2台 $B$ 型空调，需费用39000元；4台 $A$ 型空调比5台 $B$ 型空调的费用多6000元．

（1）求 $A$ 型空调和 $B$ 型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购 $A$ 、 $B$ 两种型号空调共30台，且 $A$ 型空调的台数不少于 $B$ 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

如图，直线 $y = - 2 x + 4$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象有唯一的公共点 $C$ ．

（1）求 $k$ 的值及 $C$ 点坐标；

（2）直线 $l$ 与直线 $y = - 2 x + 4$ 关于 $x$ 轴对称，且与 $y$ 轴交于点 $B^{'}$ ，与双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，求 $ΔCDE$ 的面积．

如图所示，为测量旗台 $A$ 与图书馆 $C$ 之间的直线距离，小明在 $A$ 处测得 $C$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，然后向正东方向前进100米至 $B$ 处，测得此时 $C$ 在北偏西 $15 °$ 方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据 $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

先化简，再求值： $\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} \cdot (1 + \frac{3}{x - 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = 2 \sqrt{5} - 1$ ．