如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相-优题课

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A．与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．

（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为 $4000 m$ ．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行 $800 m$ ，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到 $2.5 \min$ ．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．

如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘 $A$ ， $B$ 分成3等份和4等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．

（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．

（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘 $A$ 上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．

为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛．比赛设置一等、二等、三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查学生的人数为　　．

（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中 $A$ 所对应扇形圆心角的度数．

（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数．

在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1， $ΔABC$ 的三个顶点都是网格线的交点，已知 $B$ ， $C$ 两点的坐标分别为 $(- 3, 0)$ ， $(- 1, - 1)$ ．

（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点 $A$ 的坐标．

（2）将 $ΔABC$ 绕着坐标原点顺时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后的△ $A' B^{'} C'$ ．

（3）接写出在上述旋转过程中，点 $A$ 所经过的路径长．

把函数 $C_{1} : y = a x^{2} - 2 ax - 3 a (a \neq 0)$ 的图象绕点 $P (m, 0)$ 旋转 $180 °$ ，得到新函数 $C_{2}$ 的图象，我们称 $C_{2}$ 是 $C_{1}$ 关于点 $P$ 的相关函数． $C_{2}$ 的图象的对称轴与 $x$ 轴交点坐标为 $(t, 0)$ ．

（1）填空： $t$ 的值为　　（用含 $m$ 的代数式表示）

（2）若 $a = - 1$ ，当 $\frac{1}{2} ⩽ x ⩽ t$ 时，函数 $C_{1}$ 的最大值为 $y_{1}$ ，最小值为 $y_{2}$ ，且 $y_{1} - y_{2} = 1$ ，求 $C_{2}$ 的解析式；

（3）当 $m = 0$ 时， $C_{2}$ 的图象与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧）．与 $y$ 轴相交于点 $D$ ．把线段 $AD$ 原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到它的对应线段 $A' D'$ ，若线 $A' D'$ 与 $C_{2}$ 的图象有公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

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