解方程（1）（2）-优题课

某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．

收集数据

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：

甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40

整理、描述数据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

成绩 $x$

人数

部门

$40 ⩽ x ⩽ 49$

$50 ⩽ x ⩽ 59$

$60 ⩽ x ⩽ 69$

$70 ⩽ x ⩽ 79$

$80 ⩽ x ⩽ 89$

$90 ⩽ x ⩽ 100$

甲

0

1

11

7

1

乙

　1　

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀， $70 - - 79$ 分为生产技能良好， $60 - - 69$ 分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）

解析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

得出结论： $a$ ．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　　； $b$ ．可以推断出　　部门员工的生产技能水平较高，理由为　　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $E$ 是 $AB$ 的中点，过点 $E$ 作 $EC ⊥ OA$ 于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $CE$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $DB = DE$ ；

（2）若 $AB = 12$ ， $BD = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象与直线 $y = x - 2$ 交于点 $A (3, m)$ ．

（1）求 $k$ 、 $m$ 的值；

（2）已知点 $P (n$ ， $n) (n > 0)$ ，过点 $P$ 作平行于 $x$ 轴的直线，交直线 $y = x - 2$ 于点 $M$ ，过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线，交函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $N$ ．

①当 $n = 1$ 时，判断线段 $PM$ 与 $PN$ 的数量关系，并说明理由；

②若 $PN ⩾ PM$ ，结合函数的图象，直接写出 $n$ 的取值范围．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $BD$ 为一条对角线， $AD / / BC$ ， $AD = 2 BC$ ， $∠ ABD = 90 °$ ， $E$ 为 $AD$ 的中点，连接 $BE$ ．

（1）求证：四边形 $BCDE$ 为菱形；

（2）连接 $AC$ ，若 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ， $BC = 1$ ，求 $AC$ 的长．

关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ ．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求 $k$ 的取值范围．