已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长-优题课

已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若，且，求四边形的面积的最大值和最小值.

科目数学题型解答题难度较难

如图，已知点 $F (1 ， 0)$ 为抛物线 $y^{2} = 2 px (p > 0)$ 的焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点，点 $C$ 在抛物线上，使得 $△ ABC$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧.记 $△ AFG, △ CQG$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ .

（1）求 $p$ 的值及抛物线的准线方程；

（2）求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.

设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 4$ ， $a_{4} = S_{3}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足：对每 $n \in N^{*}, S_{n} + b_{n}, S_{n + 1} + b_{n}, S_{n + 2} + b_{n}$ 成等比数列.

（1）求数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

（2）记 $C_{n} = \sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}, n \in N^{*},$ 证明： $C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n} < 2 \sqrt{n}, n \in N^{*} .$

如图，已知三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $ABC$ , $∠ ABC = 90 °$ ， $∠ BAC = 30 °, A_{1} A = A_{1} C = AC, E, F$ 分别是 $AC, A_{1} B_{1}$ 的中点.

（1）证明： $EF ⊥ BC$ ；

（2）求直线 $EF$ 与平面 $A_{1} BC$ 所成角的余弦值.

设函数 $f (x) = sin x, x \in R$ .

（1）已知 $θ \in [0, 2 π),$ 函数 $f (x + θ)$ 是偶函数，求 $θ$ 的值；

（2）求函数 $y = [f (x + \frac{π}{12})]^{2} + [f (x + \frac{π}{4})]^{2}$ 的值域.

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1） $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ；

（2） $(a + b)^{3} + (b + c)^{3} + (c + a)^{3} \geq 24$ ．

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