已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根.-优题课

小明解答“先化简，再求值： $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ ．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

如图1，已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中，四边形 $OABC$ 是矩形，点 $A$ ， $C$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴的正半轴上，连结 $AC$ ， $OA = 3$ ， $\tan ∠ OAC = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $D$ 是 $BC$ 的中点．

（1）求 $OC$ 的长和点 $D$ 的坐标；

（2）如图2， $M$ 是线段 $OC$ 上的点， $OM = \frac{2}{3} OC$ ，点 $P$ 是线段 $OM$ 上的一个动点，经过 $P$ ， $D$ ， $B$ 三点的抛物线交 $x$ 轴的正半轴于点 $E$ ，连结 $DE$ 交 $AB$ 于点 $F$ ．

①将 $ΔDBF$ 沿 $DE$ 所在的直线翻折，若点 $B$ 恰好落在 $AC$ 上，求此时 $BF$ 的长和点 $E$ 的坐标；

②以线段 $DF$ 为边，在 $DF$ 所在直线的右上方作等边 $ΔDFG$ ，当动点 $P$ 从点 $O$ 运动到点 $M$ 时，点 $G$ 也随之运动，请直接写出点 $G$ 运动路径的长．

已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l_{1}$ 分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于点 $A (- 3, 0)$ ， $B (0, 3)$ ．

（1）如图1，已知 $⊙ P$ 经过点 $O$ ，且与直线 $l_{1}$ 相切于点 $B$ ，求 $⊙ P$ 的直径长；

（2）如图2，已知直线 $l_{2} : y = 3 x - 3$ 分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于点 $C$ 和点 $D$ ，点 $Q$ 是直线 $l_{2}$ 上的一个动点，以 $Q$ 为圆心， $2 \sqrt{2}$ 为半径画圆．

①当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时，求证：直线 $l_{1}$ 与 $⊙ Q$ 相切；

②设 $⊙ Q$ 与直线 $l_{1}$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，连结 $QM$ ， $QN$ ．问：是否存在这样的点 $Q$ ，使得 $ΔQMN$ 是等腰直角三角形，若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为 $x$ （分 $)$ ，图1中线段 $OA$ 和折线 $B - C - D$ 分别表示甲、乙离开小区的路程 $y$ （米 $)$ 与甲步行时间 $x$ （分 $)$ 的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离 $s$ （米 $)$ 与甲步行时间 $x$ （分 $)$ 的函数关系的图象（不完整）．

根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：

（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；

（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；

（3）在图2中，画出当 $25 ⩽ x ⩽ 30$ 时 $s$ 关于 $x$ 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

如图，已知在 $ΔABC$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $AB$ ， $BC$ ， $AC$ 的中点，连结 $DF$ ， $EF$ ， $BF$ ．

（1）求证：四边形 $BEFD$ 是平行四边形；

（2）若 $∠ AFB = 90 °$ ， $AB = 6$ ，求四边形 $BEFD$ 的周长．