经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出
t该产品获利润
元，未售出的产品，每t亏损
元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示。经销商为下一个销售季度购进了
t该农产品，以
（单位：t，
）表示下一个销售季度内的市场需求量，
(单位：元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润。
（1）将表示为的函数；
（2）根据直方图估计利润
不少于57000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若
，则取
，且的概率等于需求量落入
的概率），求利润的数学期望.
19．（本小题满分14分）
设函数
(
，
)．
（1）若函数
在其定义域内是减函数，求
的取值范围；
（2）函数是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时
的值，并证明你的结论．
18．（本小题满分14分）
如图5，四边形
是圆柱
的轴截面，点
在圆柱的底面圆周上，
是
的中点，圆柱的底面圆的半径
，侧面积为
，
．
（1）求证：
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
17．（本小题满分12分）
上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如下表所示．
（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（图4），再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在
岁的人数（结果取整数）；
（2）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
| 分组 （单位：岁） |
频数 |
频率 |
 |
5 |
0.050 |
 |
① |
0.200 |
|
35 |
② |
 |
30 |
0.300 |
 |
10 |
0.100 |
| 合计 |
100 |
1.00 |
16．（本小题满分12分）
已知
，
，设
．
（1）求函数
的最小正周期及其单调递增区间；
（2）若
分别是锐角
的内角
的对边，且
，
，试求的面积
．
已知数列
和
满足
，
，数列的前
和为
.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求证：
；
（3）求证：对任意的
有
成立．