如图，小明家住在m高的楼里，小丽家住在楼里，楼坐落在楼的正北-优题课

如图，小明家住在m高的楼里，小丽家住在楼里，楼坐落在楼的正北面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．

（1）如果两楼相距20 m，那么楼落在楼上的影子有多长？
（2）如果楼的影子刚好不落在楼上，那么两楼的距离应是多少？（结果保留根号）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

先化简，再求值： $(x - 1 - \frac{x^{2}}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = 3$ ．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 3$ 过点 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 为直线 $CD$ 上的一个动点，连接 $BC$ ；

①如图1，是否存在点 $P$ ，使 $∠ PBC = ∠ BCO$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

②如图2，点 $P$ 在 $x$ 轴上方，连接 $PA$ 交抛物线于点 $N$ ， $∠ PAB = ∠ BCO$ ，点 $M$ 在第三象限抛物线上，连接 $MN$ ，当 $∠ ANM = 45 °$ 时，请直接写出点 $M$ 的坐标．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AD = kAB (k > 0)$ ，点 $E$ 是线段 $CB$ 延长线上的一个动点，连接 $AE$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ AE$ 交射线 $DC$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，若 $k = 1$ ，则 $AF$ 与 $AE$ 之间的数量关系是　　；

（2）如图2，若 $k \neq 1$ ，试判断 $AF$ 与 $AE$ 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含 $k$ 的式子表示）

（3）若 $AD = 2 AB = 4$ ，连接 $BD$ 交 $AF$ 于点 $G$ ，连接 $EG$ ，当 $CF = 1$ 时，求 $EG$ 的长．

某超市销售一款"免洗洗手液"，这款"免洗洗手液"的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款"免洗洗手液"的销售单价为 $x$ （元 $)$ ，每天的销售量为 $y$ （瓶 $)$ ．

（1）求每天的销售量 $y$ （瓶 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，销售这款"免洗洗手液"每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

如图， $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $BO$ 为 $ΔABC$ 的角平分线，以点 $O$ 为圆心， $OC$ 为半径作 $⊙ O$ 与线段 $AC$ 交于点 $D$ ．

（1）求证： $AB$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan A = \frac{3}{4}$ ， $AD = 2$ ，求 $BO$ 的长．

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