如图，在平面直角坐标系中，的外接圆与轴交于点，，求的长．-优题课

计算： ${(3 - π)}^{0} - \sqrt{12} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} + 4 \sin 60 ° - (- 1)$ ．

在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为"雁点"．例如 $(1, 1)$ ， $(2021, 2021) \dots$ 都是"雁点"．

（1）求函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象上的"雁点"坐标；

（2）若抛物线 $y = a x^{2} + 5 x + c$ 上有且只有一个"雁点" $E$ ，该抛物线与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧）．当 $a > 1$ 时．

①求 $c$ 的取值范围；

②求 $∠ EMN$ 的度数；

（3）如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）， $P$ 是抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 上一点，连接 $BP$ ，以点 $P$ 为直角顶点，构造等腰 $Rt Δ BPC$ ，是否存在点 $P$ ，使点 $C$ 恰好为"雁点"？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $ΔOAB$ 的顶点坐标分别为 $O (0, 0)$ ， $A (3, 4)$ ， $B (6, 0)$ ，动点 $P$ 、 $Q$ 同时从点 $O$ 出发，分别沿 $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点 $P$ 到达点 $B$ 时点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．过点 $Q$ 作 $MN / / OB$ 分别交 $AO$ 、 $AB$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $PM$ 、 $PN$ ．设运动时间为 $t$ （秒 $)$ ．

（1）求点 $M$ 的坐标（用含 $t$ 的式子表示）；

（2）求四边形 $MNBP$ 面积的最大值或最小值；

（3）是否存在这样的直线 $l$ ，总能平分四边形 $MNBP$ 的面积？如果存在，请求出直线 $l$ 的解析式；如果不存在，请说明理由；

（4）连接 $AP$ ，当 $∠ OAP = ∠ BPN$ 时，求点 $N$ 到 $OA$ 的距离．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D$ 为 $⊙ O$ 上一点， $E$ 为 $\hat{BD}$ 的中点，点 $C$ 在 $BA$ 的延长线上，且 $∠ CDA = ∠ B$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $DE = 2$ ， $∠ BDE = 30 °$ ，求 $CD$ 的长．

如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为 $xcm$ ，单层部分的长度为 $ycm$ ．经测量，得到表中数据．

双层部分长度 $x (cm)$	2	8	14	20
单层部分长度 $y (cm)$	148	136	124	112

（1）根据表中数据规律，求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为 $130 cm$ 时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；

（3）设背带长度为 $Lcm$ ，求 $L$ 的取值范围．