如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A-优题课

如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B ＝ 90 ° ， A C ＝ 3 c m ， B C ＝ 4 c m$ ， $M$ 为 $A B$ 边上一动点， $B N ⊥ C M$ ，垂足为 $N$ ．设 $A ， M$ 两点间的距离为 $x c m （ 0 \leq x \leq 5 ）$ ， $B ， N$ 两点间的距离为 $y c m$ （当点 $M$ 和 $B$ 点重合时， $B ， N$ 两点间的距离为 $0$ ）．

小明根据学习函数的经验，对因变量 $y$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）列表：下表的已知数据是根据 $A ， M$ 两点间的距离 $x$ 进行取点、画图、测量，分别得到了 $y$ 与 $x$ 的几组对应值：

$x / c m$	$0$	$0.5$	$1$	$1.5$	$1.8$	$2$	$2.5$	$3$	$3.5$	$4$	$4.5$	$5$
$y / c m$	$4$	$3.96$	$3.79$	$3.47$	$a$	$2.99$	$2.40$	$1.79$	$1.23$	$0.74$	$0.33$	$0$

请你通过计算，补全表格： $a ＝$ ＿＿＿＿＿；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点 $（ x ， y ）$ ，并画出函数 $y$ 关于 $x$ 的图象；

（3）探究性质：随着自变量 $x$ 的不断增大，函数 $y$ 的变化趋势：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（4）解决问题：当 $B N ＝ 2 A M$ 时， $A M$ 的长度大约是＿＿＿＿＿ $c m$ ．（结果保留两位小数）

综合与实践

问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到 $A B ＝ A C$ ，在圆上标记 $A ， B ， C$ 三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在 $A ， B$ 点上，“矩”的另一条边与的交点标记为 $D$ 点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的 $A ， B ， C ， D$ 四点，连接 $A D ， B C$ 相交于点 $O$ ，即 $O$ 为圆心．

问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心 $O$ ．如图3，点 $A ， B ， C$ 在 $⊙ O$ 上， $A B ⊥ A C$ ，且 $A B ＝ A C$ ，请作出圆心 $O$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果 $A B$ 和 $A C$ 不相等，用三角板也可以确定圆心 $O$ ．如图4，点 $A ， B ， C$ 在 $⊙ O$ 上， $A B ⊥ A C$ ，请作出圆心 $O$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点 $A ， B ， C$ 是 $⊙ O$ 上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心 $O$ ．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：

信息一：普查登记的全国大陆 $31$ 个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：

（数据分成 $6$ 组： $0 \leq x ＜ 20 ， 20 \leq x ＜ 40 ， 40 \leq x ＜ 60 ， 60 \leq x ＜ 80 ， 80 \leq x ＜ 100 ， 100 \leq x \leq 120$ ）

信息二：普查登记的全国大陆 $31$ 个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在 $40 \leq x ＜ 60$ 这一组的数据是： $58 ， 47 ， 45 ， 40 ， 43 ， 42 ， 50$ ；

信息三： $2010 ﹣ 2021$ 年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）普查登记的全国大陆 $31$ 个省、自治区、直辖市人口数的中位数为＿＿＿＿百万人．

（2）下列结论正确的是＿＿＿＿．（只填序号）

①全国大陆 $31$ 个省、自治区、直辖市中人口数大于等于 $100$ （百万人）的有2个地区；

②相对于 $2020$ 年， $2021$ 年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；

③ $2010 ﹣ 2021$ 年全国大陆人口自然增长率持续降低．

（3）请写出 $2016 ﹣ 2021$ 年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．

如图，小睿为测量公园的一凉亭 $A B$ 的高度，他先在水平地面点 $E$ 处用高 $1.5 m$ 的测角仪DE测得 $∠ A D C ＝ 31 °$ ，然后沿 $E B$ 方向向前走 $3 m$ 到达点 $G$ 处，在点 $G$ 处用高 $1.5 m$ 的测角仪 $F G$ 测得 $∠ A F C ＝ 42 °$ ．求凉亭 $A B$ 的高度．（ $A ， C ， B$ 三点共线， $A B ⊥ B E ， A C ⊥ C D ， C D ＝ B E ， B C ＝ D E$ ．结果精确到 $0.1 m$ ）

（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52 ， \cos 31 ° \approx 0.86 ， \tan 31 ° \approx 0.60 ， \sin 42 ° \approx 0.67 ， \cos 42 ° \approx 0.74 ， \tan 42 ° \approx 0.90$ ）

如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示， $A B ＝ A E ， A C ＝ A D ， ∠ B A D ＝ ∠ E A C ， ∠ C ＝ 50 °$ ，求 $∠ D$ 的大小．