如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC,AC-优题课

题文

如图，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC,AC⊥BC,E、F分别在线段上，B₁E=3EC₁，AC＝BC＝CC₁＝4.

（1）求证：BC⊥AC₁；
（2）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF／／平面A₁ABB₁，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

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如图,四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形, $O$ 为底面中心, $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ , $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ .

（1）证明: $A_{1} B D / /$ 平面 $C D_{1} B_{1}$ ;
（2）求三棱柱 $A B D - A_{1} B_{1} D_{1}$ 的体积.

设 $S_{n}$ 表示数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
（1）若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列,推导 $S_{n}$ 的计算公式;
（2）若 $a_{1} = 1, q \neq 0$ ,且对所有正整数 $n$ ,有 $S_{n} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ .判断 $\{a_{n}\}$ 是否为等比数列.

已知向量 $a = (\cos x, - \frac{1}{2}), b = (\sqrt{3} \sin x, \cos 2 x), x \in R$ , 设函数 $f (x) = a \cdot b$ .
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期.
（2）求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

设函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{a} x, 0 \leq x \leq a \\ \frac{1}{1 - a} (1 - x), a < x \leq 1 \end{cases}$ . $a$ 为常数且 $a \in (0, 1)$ .

（1）当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (f (\frac{1}{3}))$ ；
（2）若 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，但 $f (x) \neq 0$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的二阶周期点.证明函数 $f (x)$ 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点 $x_{1}, x_{2}$ ；
（3）对于（2）中的 $x_{1}, x_{2}$ ，设 $A (x_{1}, f (f (x_{1}))), B (x_{2}, f (f (x_{2}))), C (a^{2}, 0)$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S (a)$ ，求 $S (a)$ 在区间 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ 上的最大值和最小值。

椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}, a + b = 3$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）如图， $A, B, D$ 是椭圆 $C$ 的顶点， $P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，直线 $D P$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，直线 $A D$ 交 $B P$ 于点 $M$ .设 $B P$ 的斜率为 $k$ ， $M N$ 的斜率为 $m$ .证明： $2 m - k$ 为定值.

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