先化简，再求值＋·，其中a＝＋1.-优题课

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / DC$ ， $AB = AD$ ，对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ， $AC$ 平分 $∠ BAD$ ，过点 $C$ 作 $CE ⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $OE$ ．

（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

（2）若 $AB = \sqrt{5}$ ， $BD = 2$ ，求 $OE$ 的长．

关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + 1 = 0$ ．

（1）当 $b = a + 2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根．

下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线 $l$ 及直线 $l$ 外一点 $P$ ．

求作：直线 $PQ$ ，使得 $PQ / / l$ ．

作法：如图，

①在直线 $l$ 上取一点 $A$ ，作射线 $PA$ ，以点 $A$ 为圆心， $AP$ 长为半径画弧，交 $PA$ 的延长线于点 $B$ ；

②在直线 $l$ 上取一点 $C$ （不与点 $A$ 重合），作射线 $BC$ ，以点 $C$ 为圆心， $CB$ 长为半径画弧，交 $BC$ 的延长线于点 $Q$ ；

③作直线 $PQ$ ．所以直线 $PQ$ 就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明： $∵ AB =$ 　　， $CB =$ 　　，

$∴ PQ / / l ($ 　　 $)$ （填推理的依据）．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中的点 $P$ 和图形 $M$ ，给出如下的定义：若在图形 $M$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $P$ 、 $Q$ 两点间的距离小于或等于1，则称 $P$ 为图形 $M$ 的关联点．

（1）当 $⊙ O$ 的半径为2时，

①在点 $P_{1} (\frac{1}{2}$ ， $0)$ ， $P_{2} (\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $P_{3} (\frac{5}{2}$ ， $0)$ 中， $⊙ O$ 的关联点是　　．

②点 $P$ 在直线 $y = - x$ 上，若 $P$ 为 $⊙ O$ 的关联点，求点 $P$ 的横坐标的取值范围．

（2） $⊙ C$ 的圆心在 $x$ 轴上，半径为2，直线 $y = - x + 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ．若线段 $AB$ 上的所有点都是 $⊙ C$ 的关联点，直接写出圆心 $C$ 的横坐标的取值范围．

在等腰直角 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $P$ 是线段 $BC$ 上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），连接 $AP$ ，延长 $BC$ 至点 $Q$ ，使得 $CQ = CP$ ，过点 $Q$ 作 $QH ⊥ AP$ 于点 $H$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ．

（1）若 $∠ PAC = α$ ，求 $∠ AMQ$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）．

（2）用等式表示线段 $MB$ 与 $PQ$ 之间的数量关系，并证明．