在等腰直角△ABC中，∠BAC90°，ABAC，（1）如图1-优题课

在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
（1）如图1，点D、E分别是AB、AC边的中点，AF⊥BE交BC于点F，连结EF、CD交于点H.求证，EF⊥CD；
（2）如图2，AD=AE，AF⊥BE于点G交BC于点F，过F作FP⊥CD交BE的延长线于点P，试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并说明理由.

图1 图2

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心

图1是一商场的推拉门，已知门的宽度 $AD = 2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $AB = CD)$ ，将左边的门 $AB B_{1} A_{1}$ 绕门轴 $A A_{1}$ 向里面旋转 $37 °$ ，将右边的门 $CD D_{1} C_{1}$ 绕门轴 $D D_{1}$ 向外面旋转 $45 °$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\cos 37 ° \approx 0.8$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4)$

某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元 $/$ 千克，乙种水果18元 $/$ 千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元 $/$ 千克，乙种水果20元 $/$ 千克．

（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？

（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？

如图，已知一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1} \neq 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象交于 $A (4, 1)$ ， $B (n, - 2)$ 两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）请根据图象直接写出 $y_{1} < y_{2}$ 时 $x$ 的取值范围．

已知二次函数 $y = - x^{2} + bx + c + 1$ ，

①当 $b = 1$ 时，求这个二次函数的对称轴的方程；

②若 $c = - \frac{1}{4} b^{2} - 2 b$ ，问： $b$ 为何值时，二次函数的图象与 $x$ 轴相切？

③若二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1}$ ， $0)$ ， $B (x_{2}$ ， $0)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $b > 0$ ，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $M$ ，以 $AB$ 为直径的半圆恰好过点 $M$ ，二次函数的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴、直线 $BM$ 、直线 $AM$ 分别交于点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，且满足 $\frac{DE}{EF} = \frac{1}{3}$ ，求二次函数的表达式．

如图所示， $Rt Δ PAB$ 的直角顶点 $P (3, 4)$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，顶点 $A$ 、 $B$ 在函数 $y = \frac{t}{x} (x > 0, 0 < t < k)$ 的图象上， $PA / / y$ 轴，连接 $OP$ ， $OA$ ，记 $ΔOPA$ 的面积为 $S_{ΔOPA}$ ， $ΔPAB$ 的面积为 $S_{ΔPAB}$ ，设 $w = S_{ΔOPA} - S_{ΔPAB}$ ．

①求 $k$ 的值以及 $w$ 关于 $t$ 的表达式；

②若用 $w_{\max}$ 和 $w_{\min}$ 分别表示函数 $w$ 的最大值和最小值，令 $T = w_{\max} + a^{2} - a$ ，其中 $a$ 为实数，求 $T_{\min}$ ．

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