如图所示， $\text{Rt}\Delta \text{PAB}$的直角顶点 $P(3,4)$在函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，顶点 $A$、 $B$在函数 $y=\frac{t}{x}(x>0,0<t<k)$的图象上， $\mathit{PA}//y$轴，连接 $\mathit{OP}$， $\mathit{OA}$，记 $\mathit{\Delta OPA}$的面积为 $S_{\mathit{\Delta OPA}}$， $\mathit{\Delta PAB}$的面积为 $S_{\mathit{\Delta PAB}}$，设 $w=S_{\mathit{\Delta OPA}}-S_{\mathit{\Delta PAB}}$．

①求 $k$的值以及 $w$关于 $t$的表达式；

②若用 $w_{\mathit{max}}$和 $w_{\mathit{min}}$分别表示函数 $w$的最大值和最小值，令 $T=w_{\mathit{max}}+a^2-a$，其中 $a$为实数，求 $T_{\mathit{min}}$．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 反比例函数的性质 反比例函数系数k的几何意义 二次函数的应用