在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$,$e=\sqrt{\frac{2}{3}}$，且椭圆$C$上的点到点$Q\left(0,2\right)$的距离的最大值为$3$．
（1）求椭圆$C$的方程；
（2）在椭圆$C$上，是否存在点$M\left(m,n\right)$，使得直线$l$：$mx+ny=1$与圆$O$：$x^2+y^2=1$相交于不同的两点$A$、$B$，且$△OAB$的面积最大？若存在，求出点$M$的坐标及对应的$△OAB$的面积；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等